圆的经典例题透析.doc

经典例题透析1．垂径定理及其应用　　在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.　　1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；　　(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.　　思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识.　　解：(1)作法略.如图所示.　　　　(2)如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，　　　　　 ∵ OC⊥AB，　　　　　 ∴ .　　　　　 由题意可知，CD=4cm.　　　　　 设半径为x cm，则.　　　　　 在Rt△BOD中，由勾股定理得：　　　　　 ∴.　　　　　 ∴ .　　　　　 即这个圆形截面的半径为10cm.　　总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.　　举一反三：　　【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．12.5寸 　　　B．13寸　　　 C．25寸 　　　D．26寸　　答案：D　　解析：因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.　　　　　根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，　　　　　知(寸)，在Rt△AOE中，，　　　　　即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).2．圆周角及其应用　　圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中.　　2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.30°　　　 B.60°　　　 C.75°　　　 D.90°　　思路点拨：本题可求先出∠BAC的度数，∠BAC所对的弧是优弧，则该弧所对的圆心角度数为360°-120°=240°，所以，因此，.　　答案：B.　　举一反三：　　【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：∠6，∠2，∠5.　　解析：本题中由弦AB=CD可知，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，故有∠1 =∠6=∠2=∠5.　　【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm.　　(1)说明AC⊥OD； (2)求OD的长.　　解：(1)∵ AB是⊙O的直径，　　　　　 ∴ ∠C=90°，　　　　　 ∵ OD∥CB，∴ ∠ADO=∠C=90°，　　　　　 ∴ AC⊥OD.　　　　(2)∵ OD∥BC，O是AB的中点，　　　　　 ∴ D是AC的中点，　　　　　 ∴ .3．切线的性质及判定　　涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题.　　3．如图所示，直线MN是⊙O的切线，A为切点，过A的作弦交⊙O于B、C，连接BC，证明∠NAC=∠B.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：如图所示，过A作⊙O的直径AD，连接DC，利用角的关系，可证明∠NAC与∠B相等.　　证明：过A作直径AD，连接DC，　　　　　∴ ∠ACD=90°，　　　　　∴ ∠D+∠DAC= 90°.　　　　　∵ ∠B=∠D，∴ ∠B+∠DAC=90°.　　　　　∵ MN是⊙O的切线，　　　　　∴ ∠NAD= 90°，　　　　　∴ ∠NAC=∠B.　　总结升华：已知切线，经常添加过切点的半径或直径，利用直径(或半径)与切线的垂直关系来解决问题.　　举一反三：　　【变式1】如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：147°.　　解析：因为DB是⊙O的切线，所以OA⊥DB，由∠AOM=66°，　　　　　得∠OAM=，∠DAM=90°+57°=147°.　　【变式2】如图所示，AB是⊙O的直径，是⊙O的切线，C是切点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF.　　思路点拨：已知是⊙O的切线，连接过切点C的半径OC，易得AE∥OC∥BF，因为O是直径的中点，因此，EC=CF.　　解：连接OC.　　　　∵ EF是⊙O的切线，∴OC⊥EF.　　　　∵ AF⊥EF，BF⊥EF，　　　　∴ AE∥OC∥BF.　　　　∵ AO=BO.∴ EC=CF.　　总结升华：利用圆心是直径的中点，本题可证得OC为梯形AEFB的中位线.进一步可得AE+BF=AB.　　【变式3】如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是________________(只填一个即可).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：∠BAE=∠C或∠CAF=∠B.　　4．如图所示，EB、BC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：99°.　　解析：由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，　　　　　在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.　　举一反三：　　【变式1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D.求证：DE∥OC；　　证明：连接OD, 则∠ODC=90°，∠ODE=∠OED，　　　　　由切线长定理得：CD=CB，　　　　　∴ Rt△ODC≌Rt△OBC，　　　　　∴ ∠COB=∠COD， 　　　　　∵ ∠DOE+2∠OED=180°，　　　　　又 ∠DOE+2∠COB=180°，　　　　　∴ ∠OED=∠COB，　　　　　∴ DE//OC4．两圆位置的判定　　在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力.　　5．填空题　　(1)已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6cm，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.　　(2)两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______________.　　思路点拨：(1)直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小.实际上这两种方法是等价的，由题意可知，圆的半径为6.5cm，而圆心到直线的距离6cm<6.5cm，所以直线与圆相交，有2个公共点.　　(2)两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.　　答案：(1)2个； (2)7或3.　　举一反三：　　【变式1】两圆半径分别为1和7，若它们的两条公切线互相垂直，则它们的圆心距为_______.　　答案：或或10.　　　　　　　【变式2】已知两圆的圆心距为3，的半径为1.的半径为2，则与的位置关系为________.　　答案：外切.　　【变式3】在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线有( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1条 　　　B.2条 　　　C.3条 　　　D.4条　　答案：C.　　解析：本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系，　　　　　因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，所以AB=5，　　　　　而两圆半径为和，且，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，　　　　　所以两圆相外切，共有3条公切线.5．弧长的计算及其应用　　6．如图所示，在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之问的关系为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.　　　 B. 　　　C. 　　　D.　　思路点拨：由扇形与圆恰好围成圆锥的条件是圆的周长与扇形的弧长相等，所以，化简即可得R=4r.　　答案：D.6．图形面积的计算及其应用　　与圆有关的图形面积计算问题有圆的面积、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积.考查题型以选择题、填空题、解答题为主，考查重点是对有关公式的灵活运用.其中是不规则图形面积的计算，应首先将其转化为规则图形，然后再进行.　　7．沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 　　　B.72 　　　C.36 　　　D.72　　答案：C.　　解析：本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.　　　　　但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，　　　　　阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，　　　　　所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为　　　　　.　　总结升华：求组合图形的面积一般要构造出易求面积的基本图形，通过基本图形面积的加减得出结论.　　举一反三：　　【变式1】设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(4π+8)cm2 　　　　B.(4π+16)cm2　　C.(3π+8)cm2 　　　　D.(3π+16)cm2　　答案：A.　　解析：对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.　　　　　∵ 矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，　　　　　∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，　　　　　，，　　　　　又AF=AD=4cm，　　　　　∴ ，　　　　　∴ .7．圆与其他知识的综合运用　　8．如图所示，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B。