实变与泛函.docx

由叶果洛夫定理和可测函数收敛性定义证明勒贝格定理学院：统计与数学学院班级：09 信息与计算科学摘要：可测函数列的收敛性有很多种,如几乎处处收敛、一致收敛、依测度收敛 等•叶果洛夫(Egoroff)定理给出了几乎处处收敛与几乎一致收敛的某种关系,黎 茨(Riesz)定理给出了依测度收敛与几乎处处收敛的某种关系，那么几乎处处收 敛与依测度收敛还有什么关系？本文就此问题进行证明• 关键字：叶果洛夫(Egoroff)定理、勒贝格(Lebesgue)定理、依测度收敛、几乎 处处收敛定义1如果存在P u E , r P二0使在E - P上｛f ｝收敛于f，则称｛f ｝几乎处处收 nn敛于f ,记为f a.e. > f •n定义2⑴如果V8>0, 3自然数N，当n > N时对一切xe E，有I f (x)-f (x)l<£ ,n则称｛f ｝一致收敛于fn(2)如果 V > 0,存在可测子集E u E使r(E-E ) <8且在E上f 一致5 8 8 n收敛于f,则称｛f ｝基本一致收敛于f或几乎处处一致收敛于f •n定义3如果V > 0，成立lim r E [| f - f I>c]= 0，则称｛f ｝依测度收敛于f,记n n为 f n f 或 f f •nn定理一(叶果洛夫(Egoroff)定理)设r E <+^ , ｛f ｝是E上一列可测函数且na.e.收敛于一个a.e.有限的可测函数f ,则｛f ｝基本一致收敛于f ,即V8 > 0,n3E u E使r(E -E) <8且在E上一致收敛于f •8 8 8定理二(叶果洛夫(Egoroff)定理的逆定理) 设｛f ｝是定义在可测集E上的一n列可测函数，且在E上f基本一致收敛于f则在E上必有f a.e. > f •nn定理三(黎茨(Riesz)定理) 设｛f ｝是定义在可测集E上的一列可测函数，且在nE上f n f,则存在｛f ｝的子序列｛f ｝使在E上f —f (j >8)n nj nj定理四(勒贝格(lebesgue)定理)设rE <+a , ｛f ｝是定义在E上的一列可测函n数且在E上ff ,则f 3 f . nn定理中的条件：1卩E <+w2 ｛f (x)｝是E上一列几乎处处取有限的可测函数n3 lim f (x) = f (x)a.e.于 E , I f (x) l< +aa.e.于 E .nn sf 3 f的含义是：对于事先给定的无论怎样小的误差b ,使| f (x) - f (x) l> c那 nn些点x的集合的测度随n无限增大而趋于0 , limpE[(f -f) >c] = 0可以用 nn T88-c- N语言描述为Vb> 0 , £> 0 , E自然数N G Q p )当 n > N时有pE[ f 一f l>c]<£ .n证明：由叶果洛夫(Egoroff)定理Vs > 0, 3可测子集E u E使p(E-E ) 0 , 3自然数N当n > N时恒有 l f (x) — f (x) l< 5 , x G Esns当 n> N有 E[ f (x) -f (x) l>5 ]u E-Ens所以当 n > N 有 pE[ f (x)-f (x) l>5]5] 5 )= (n, +8), pE (l f - f l>5) = +8 在 enn于f.2勒贝格(lebesgue)定理的逆定理不成立把｛f(n)｝中的函数先按n的大小，再按j的大小排成jf(1)(x) , f ⑵(x),….f (n)(x)…f (1)(x) , f ⑵(x)…f (n)(x)…1 1 1 2 2 2设 f (n)(x)是这序列第 N(n,j)项，即 f (n)(x) = f (x)j j NV5 > 0 有 pE b f - 0l>6］=^ E「If”-0 l> 61 < 0Nj(当 N Ts)时即 f n 0(N Ta)N但当Vx e (0,1］时，无论n如何3j使x e ( _1，丄］0 0 2n 2 n因 f (n) (x ) = 1 而 f (n) (x ) = 0 或 f (n) (x ) = 0j 0 j+1 0 j-1 0这就是说｛f (n)(x )｝中即含有恒等于1的子列又含有等于0的子列 j0所以它是发散的参考文献：实变函数与泛函分析简明教程 高等教育出版社 张晓岚编著。