第8讲-矩阵的微分和积分课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,*,矩阵论第,8,讲,-,*,,矩阵理论,-,第十讲,1,矩阵理论-第十讲1,上节内容回顾,矩阵的幂级数,,,方阵幂级数收敛的判别定理,：收敛半径为,r,,：谱半径为,绝对收敛,发散,绝对收敛,Neumann,级数收敛充要条件,收敛,,,,,,2,上节内容回顾矩阵的幂级数2,上节内容回顾,矩阵函数,收敛的矩阵幂级数 在矩阵集合,,与,,之间建立了一个（多对一）映射,,称之为矩阵函数此矩阵幂级数的和,S,为,A,在映射,f,下的象，记为,,矩阵函数的计算,利用,Hamilton-Cayley,定理,利用相似对角化,利用,Jordan,标准形,利用矩阵多项式,3,上节内容回顾矩阵函数3,矩阵的微分和积分,以函数为元素的矩阵,——,函数矩阵,函数矩阵的微分和积分,泛函,,数量函数对矩阵变量的导数,向量值函数或矩阵值函数对向量变量或矩阵变量的导数,**********************************************************************,函数矩阵的微分和积分,定义,以变量,t,的函数为元素的矩阵,,是定义在,[a, b],上的，若,在,[a, b],上连续、可微、可积，若每个 在,[a, b],上连续、可微、可积,4,矩阵的微分和积分以函数为元素的矩阵——函数矩阵4,矩阵的微分和积分,3.4.1,函数矩阵的微分和积分,,,,,高等数学中函数的和、乘积、复合函数的求导法则适用于函数矩阵的微分,,,,5,矩阵的微分和积分3.4.1 函数矩阵的微分和积分5,矩阵的微分和积分,,,6,矩阵的微分和积分6,矩阵的微分和积分,当 亦可微时，有,,,,,高等数学中函数的和、常数（常数矩阵）与函数矩阵的乘积、分部积分法、变上限函数、导数的积分法则适用于函数矩阵的积分,,7,矩阵的微分和积分当 亦可微时，有7,矩阵的微分和积分,3.4.2,数量函数对矩阵变量的导数,行列式、二次型、内积、范数等是这类函数的代表,,,,,,以向量为自变量的函数的导数,——,梯度向量,8,矩阵的微分和积分3.4.2 数量函数对矩阵变量的导数8,矩阵的微分和积分,数量函数对矩阵变量的导数,举例,(1),,,9,矩阵的微分和积分数量函数对矩阵变量的导数9,矩阵的微分和积分,数量函数对矩阵变量的导数,举例,(2),,,10,矩阵的微分和积分数量函数对矩阵变量的导数10,矩阵的微分和积分,数量函数对矩阵变量的导数,举例,(3),,,,,,,,,,11,矩阵的微分和积分数量函数对矩阵变量的导数11,矩阵的微分和积分,,,,,,,,,,,当,A,是对称矩阵时,,12,矩阵的微分和积分当A是对称矩阵时12,矩阵的微分和积分,数量函数对矩阵变量的导数,举例,(4),。

证明,,证：,设 的代数余子式为 ，将 按第,i,行展开：,13,矩阵的微分和积分数量函数对矩阵变量的导数13,矩阵的微分和积分,3.4.3,矩阵值函数对矩阵变量的导数,矩阵值函数 的定义,,,,,,,,,,,14,矩阵的微分和积分3.4.3 矩阵值函数对矩阵变量的导数14,矩阵的微分和积分,矩阵值函数对矩阵变量的导数,注意：与,Jacobi,式（函数行列式）的区别,,n,个自变量的,n,个函数,,,,定义在某,n,维空间中，并关于自变量有连续偏导数，则其,Jacobi,式如下：,,15,矩阵的微分和积分矩阵值函数对矩阵变量的导数15,矩阵的微分和积分,矩阵值函数对矩阵变量的导数,举例（,1,）,,,,,,,,,,,,16,矩阵的微分和积分矩阵值函数对矩阵变量的导数16,矩阵的微分和积分,矩阵值函数对矩阵变量的导数,举例（,2,）,,,,,,,,17,矩阵的微分和积分矩阵值函数对矩阵变量的导数17,矩阵的微分和积分,矩阵值函数对矩阵变量的导数,举例（,2,）,,,,,,,,,18,矩阵的微分和积分矩阵值函数对矩阵变量的导数18,矩阵的微分和积分,矩阵值函数对矩阵变量的导数,举例（,2,）,,,,,,,19,矩阵的微分和积分矩阵值函数对矩阵变量的导数19,矩阵的微分和积分,矩阵值函数对矩阵变量的导数,举例（,2,）,,,,,,,,20,矩阵的微分和积分矩阵值函数对矩阵变量的导数20,矩阵的微分和积分,矩阵值函数对矩阵变量的导数,举例（,2,）,,,,,,,,,21,矩阵的微分和积分矩阵值函数对矩阵变量的导数21,矩阵的微分和积分,矩阵值函数对矩阵变量的导数,举例（,2,）,,,,,,,22,矩阵的微分和积分矩阵值函数对矩阵变量的导数22,常用矩阵函数的导数,设,,,23,常用矩阵函数的导数设23,矩阵函数在求解微分方程组中的应用,一阶线性常系数非齐次微分方程组的求解,已知向量函数,24,矩阵函数在求解微分方程组中的应用一阶线性常系数非齐次微分方程,矩阵函数在求解微分方程组中的应用,一阶线性常系数非齐次微分方程组的求解,,25,矩阵函数在求解微分方程组中的应用一阶线性常系数非齐次微分方程,求解矩阵方程,Lyapunov,方程,设,,,,,,,,,,,称矩阵方程,为,Lyapunov,方程,26,求解矩阵方程Lyapunov方程称矩阵方程为Lyapunov,求解矩阵方程,Lyapunov,方程的解及有解的条件,对,Lyapunov,方程,,若,,则,Lyapunov,方程有唯一解,,证：首先证明积分,,存在。

27,求解矩阵方程Lyapunov方程的解及有解的条件27,求解矩阵方程,由于,,所以,,是可积的记,,,,28,求解矩阵方程 由于28,求解矩阵方程,推论,1,,设,,,,,,,,则矩阵微分方程,,,的解为,29,求解矩阵方程推论129,求解矩阵方程,推论,2,,设 ，,,则矩阵方程,,有唯一解,,又，若,F,是,Hermite,正定矩阵，则解矩阵,X,也是,Hermite,正定矩阵,,30,求解矩阵方程推论230,求解矩阵方程,,,,F,是,Hermite,正定矩阵,,,X,是,Hermite,正定矩阵,,,,以参数,t,为变量的普通函数,31,求解矩阵方程F是Hermite正定矩阵X是Hermite正定,最小二乘问题,最小二乘法的原理,设,u,是变量 的函数，含有,m,个参数,,现对,u,和 作,n,次观测，得,,于是,u,在观测值 下的计算值 与观测值 的绝对误差为：,,最小二乘法，就是求参数 ，使得函数,,与观测值 最佳拟合，即 应使,,其等价问题是,,f,是线性函数的情形,,32,最小二乘问题最小二乘法的原理f是线性函数的情形32,最小二乘问题,,是 的最小二乘解,,,,,,,若 是 的解，则 是方程组,的最小二乘解,33,最小二乘问题 是 的最小二乘解若,含约束条件的最小二乘问题,条件极值问题的提法,目标函数,,在,n,维欧氏空间 的一个由不等式约束条件,,或等式约束条件,,所限定的区域,,内求一点 ，使得目标函数 达到极小值（或极大值）,,Linear,：线性规划,Non-linear,：非线性规划,,34,含约束条件的最小二乘问题条件极值问题的提法Linear：线性,含约束条件的最小二乘问题,化等式条件极值问题为无条件极值问题,应用,Lagrange,乘子法,,为待定常数，将 视为,n,+,m,个变量 和,的无约束函数，令其关于 的偏导数为,0,即可得极值点,,,,35,含约束条件的最小二乘问题化等式条件极值问题为无条件极值问题3,含约束条件的最小二乘问题,化等式条件极值问题为无条件极值问题,引入,Lagrange,乘子,,得,36,含约束条件的最小二乘问题化等式条件极值问题为无条件极值问题3,。