【例1】有变形就一定会引起应力吗？.pdf

拉压变形【例 1】 有变形就一定会引起应力吗？解： 有些学生误认为有变行就必有应力例如图a 所示一端固定，一端自由的静定杆件，当整个杆件发生均匀的温度改变时，构件将发生伸长或缩短变形，但是由于杆件可以自由伸缩，不受任何限制，所以，这种因温度改变所引起的变形并不会在杆中引起任何应力若将杆件 B 端也固定，当温度改变时，杆件不能自由伸缩，这样杆件内就会引起应力BAPP（a）（b）又如图 b 所示的轴向拉杆，在力作用下发生变形，其纵向伸长，横向缩短横向虽有变形，但在横向截面（即与轴线平行的纵截面）上并不产生相应的任何应力因此，虽然在某一方向上有变形，但在这一方向上并不一定有对应的应力所以，不能笼统地说“有变行必有应力” 例 2】 构件受力后，由于塑性屈服引起塑性变形而导致其丧失正常工作能力试问这种情况是属于强度、刚度、还是稳定性问题？解：构件受力后因塑性屈服引起塑性变形，是构件破坏的一种形式因此，属于强度问题刚度问题中的变形，一般是指弹性变形稳定性问题中的原有平衡形态，是指与所受外力相应的变形形式下的平衡形态例 3】根据可变形固体的均匀性假设，从物体内任一点处任意方向取出的体积单元，其力学性能均相同。

因此，均匀性假设实际上包含了各向同性假设，试问上述说法是否正确？解：不正确均匀性假设是指从物体内取出的任一体积单元的力学性能与物体的力学性能相同，而并不涉及沿各个方向的力学性能是否相同各项同性假设是指物体沿各个方向的力学性能相同，两者是有区别的例 4】 钢杆与橡皮棒在同样轴向拉力P 作用下，若橡皮棒的应变比钢大，由胡克定律可知：橡皮棒横截面上的应力σ比钢大这种结论是否一定正确？为什么？钢杆与橡皮棒横截面上的应力是否可能相等？条件是什么？解答： （1）在二杆均处于弹性阶段的前提下，由于橡皮棒的应变大于钢杆的应变并不一定能根据胡克定律得出前者应力大于后者的结论原因是不同的材料有不同的弹性模量，不能只根据应变大小来比较应力大小具体说，因σ钢=E钢ε钢σ橡=E橡ε橡但事实上 E橡＜E钢，故仅由 ε橡＞ε钢无法确定 σ钢和 σ橡孰大孰小2）由 σ =N/A 可知，只要钢杆与橡皮棒横截面积相等在同样的轴向拉力P 作用下，则其横截面上的应力 σ 就一定相等例 5】 三角形构架ABC 用于支承重物，如图 a 所示构架中杆 AB 为钢杆，两端用销钉连接，构件BC 为工字钢梁，在 B 处销接而在 C 处用四个螺栓连接。

试问杆 AB 和构件 BC将分别产生哪些变形？解：1.建立力学模型首先，可以认为重量W位于构架 ABC 平面内，因此可作为平面力系问题来处理其次，销钉 B、C 将传递一个通过销钉中心的力假如在销钉周面上存在摩擦力，则在该平面内还将传递一个摩擦力矩，其值等于摩擦力（fFN）乘以销钉半径对于一个典型的摩擦因数1/3，最大的摩擦力矩应为销钉所传递的力承销钉半径的1/3，在本例的几何条件下显然可忽略不计因此，销钉 B、C 可理想化为光滑销钉， 而不计摩擦力矩的影响 最后，C 处的螺栓连接，其约束既不像光滑销钉可自由转动，也不像固定端那样毫无转动的可能，而是介于两者之间，并与螺栓的紧固程度有关为此，理想化为两种极端情况进行分析比较：一是将处理想化为光滑销钉，于是将力学模型如图b 所示；另一是将处理想化为固定端，其力学模型如图c 所示2.构件的变形形式对于图 b 所示的力学模型，杆AB 和 BC 均为二力杆，可见杆AB 将产生轴向拉伸，而杆BC 将产生轴向压缩；对于图c 所示的力学模型，杆AB 仍为二力杆，将引起轴向拉伸构件梁钢字工螺 栓钢 杆销 钉(a) BC 在 C 处固定端将有反力FCx、FCy和反力偶矩 MC（其值按超静定法求解） ，将引起轴向压缩和弯曲的组合变形。

b) (c) 【例 6】图示耳叉受轴向载荷P的作用，试较核耳叉的拉伸强度 已知：P=14kN，=20Mpa420φ10N=PPφ84 耳叉解：耳叉的轴力为N=P=14 kN 分别校核耳叉上的耳片和螺杆的强度，即MPa AN 8.145 820421014311＜MPa AN 3.178 10101442322＜耳叉符合强度要求例 7】 A3 钢钢板的厚度 t=12mm，宽 度 b=100mm，铆钉孔的直径 d=17mm， 设轴向力 P=100KN，每个孔上承受的力为 4P， 安全系数取 ns=2， 试校核其强度PP4b2211PPP344+解：(1) 作板的轴力图，可能的危险截面为1-1 及 2-2 (2) 确定许用应力由教材查表 1-2 得 A3 钢s=216~235Mpa 故 2235216SSnσσ=108~118Mpa (3)校核板的饿强度1-1 截面：Mpa tdbPANσ100 1217100101003111＜2-2 截面：Mpa dbtpAN σ7.94 1721001241010032433222＜故板的强度足够例8】杆 BD 重 W=200N,用铜丝AB,CD 吊起,其 F 点用钢丝 FH 悬重物H,如图 a 所示.已知钢，铜的弹性模量及许 用 应 力 分 别 为钢E=208Gpa ，铜E=120Gpa， ［钢］=150Mpa， ［铜］=60Mpa， AB 横截面面积为 20mm2， CD、FH 的横截面面积均为10 mm2，试确定重物 H 的许可重量［ Q］及它为最大许可重量时的下垂量。

解：(一) 解题分析： H 的许可重量决定于AB、CD 及 FH 的拉伸强度 ,并由其中某根的拉伸强度所决定 H 的下垂量则由 AB、CD 的拉伸导致的 F 点下垂及 FH 的伸长所决定二) 解题思路：先根据强度条件确定AB、CD 及 FH 的内力与 H 的重量 Q 的关系，由许可内力及内力与载荷Q 的关系确定许可重量 ［Q］ ，为确定 H 的下垂量，先计算杆 AB、CD、FH 的伸长，由杆 AB、CD 的伸长，根据几何关系确定下垂，再由 F 点的下垂及 FH 的伸长求出 H 的下垂量三)解题步骤：1.确定 H 的许可重量［ Q］1) 确定 H 的重量与杆 AB、CD、FH 内力的关系由图 b，0yF，0QNFH，QNFH由图 c，0DM，0800600400ABNQW（b）WQNAB 21430BM，0800200400CDNQWWQNCD 21412) 确定许可重量［ Q］（c）由 FH 的强度条件FHFHFHFH AQANσ≤［钢］QNF HC DA BQWNNHFDC60 0240600720AB2 00（a）Q≤［钢］AFH＝150×10＝1500N 由 AB 的强度条件ABABABAB AWQAN σ2143≤［铜］Q≤NWAσAB1470200 21 2060 432143铜由 CD 的强度条件CDCDCDCD AWQAN σ2141≤［铜］（d）Q≤NWAσCD2000200 21 10604 21 4铜故 Q 的最大许可值为［ Q］＝1470N。

2.确定 H 点的下垂量 yH1)计算 AB、CD、FH 的伸长m AElWQAElN lΔABABABABABAB120.0 2010120240200 21 1470 4321433铜铜yF lCDAB lm AElWQAElN lΔCDCDCDCDCDCD281.0 1010120720200 21 1470 4121413铜铜m AElQAElN lΔFHFHFHFHFHFH424.0 101020860014703钢钢2)计算 F 点的下垂量 yF，由图 d 可知mmlΔlΔlΔyABCDABF16.012.0281.0 41 12.0 413)计算 H 点的下垂量 yHmmlΔyyFHFF584.0424.016.0（四）注意点1.求结构许可荷载的问题中， 常见的错误是用最小的许可内力去求许可荷载，例如本例中，由WQNCD 2141≤［NCD］得出，并以之为最终结果其错误在于忽视了不同杆的内力与结构荷载间具有由平衡条件确定的不同关系，因而最小内力对应的不一定是最小的荷载，而许可荷载却应该是各杆许可内力所对应的荷载中的最小一个，否则，某些杆件的强度将无法保证2.本例中还容易忽视的是F 点的下垂。

此外，还不应忽视计算公式中各量的对应关系，例如为钢，为铜，计算中应分别用各自的许用应力及弹性模量例 9】图示结构中 AC 为钢性梁，BD为斜撑杆， 载荷 P 可沿梁 AC 水平移动为使斜撑杆重量为最轻，则斜撑杆与梁之间的夹角应取何值？ABCPh( a)xl解： （1）载荷 P 移动到距 A 端为 x 的位置时，计算 BD 杆所受之力0FMA0coshNPxBD∴P hx NBD cos显然，当x时，NBD为最大，其最大值为P hl NBD cos （2）确定角欲使 BD 杆重量最轻，则BD 杆体积为最小设斜撑杆的许用应力为，则截面面积为coshlpN ABD体积 2sin2sincoslphhlp lAVBD显然，当12sin时，V 最小∴2= 2则 4(b )HAVANB DP【例11】图 a 为一变截面圆钢杆ABCD已知 P1=20kN，P2=35 kN，P3=35kN ， L1=L3=300mm ， L2=400mm ，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm试求：1）Ⅰ- Ⅰ, Ⅱ-Ⅱ及Ⅲ - Ⅲ截面上的轴力 ,并作 AD 杆的轴力图；2）杆的最大正应力max；3） B 截面的轴向位移 uB及 AD 杆的伸长△LAD。

ABCD2P3PP1IIIIIIIIIIII123d23dd1l3l21l(a) 解: 1. 求轴力及画轴力图用截面法分别在Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ - Ⅱ及Ⅲ - Ⅲ截面处将杆截开，保留右边的 部分，截面处都加正方向的轴力N1-1，N2-2及 N3-3图 b 分别表示三个留下部分的受力图，由 轴向静力平衡条件，分别可求得P2P33 - 3NI I II I IP12PN2 - 21PI II IP11 - 1NII(+)x-20(mm)20KN15KN50KN-50N(K N)o(-)300700(b) (c) N1－1=P1=20KN N2－2=P1－P2=－15KN N3－3=P1－P2－P3=－50KN 其中”－”号的轴力表示压力显然N1－1、N2－2、N3－3分别代表了 1、2、3 段杆内任意 截面上的轴力 , 因此其轴力图如图 c 所示. 2. 求最大正应力maxAB 段：AB=ABAN11=21114dN=233)1012(10204=176.8×106pa=176.8MpaCD 段：CD=CDAN33=23334dN=233)1024()1050(4=－110.5 ×106pa=110.5Mpa可见最大正应力发生在AB 段, 即max=176.8 × 106pa=176.8Mpa3. 求 B 截面的轴向位移及AD 杆的伸长△ LAD。

AB 段: m EdLNEALN LABAB42393211111111053.21012102103.0102044BC 段: m EdLNEALN LBCBC42393222222221042.11016102104.0101544CD 段: m EdLNEALN LCDCD42393233333331058.11024102103.0105044∴uB=（－1.42－1.58) ×410=－3.0 ×410m=－0.3mm( 负号表示向左 ) ∴ △LAD=△LAB+△LBC+△LCD=－0.47 ×410负号表示缩短 )。