2022年全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答 2022年全国大学生数学专业竞赛试题及解答 （1）计算积分 ???0e??x2?ex2??x2dx,??0,??0. 解 方法一 直接利用分部积分法得 ??0?e??x2?ex2??x2dx??0??0(e??x2?e??x2)(?1x)?dx ??x2?????(?2?xe??x2?2?xe??x2)(?1x)dx ?????2(????0(2?e??x2?2?e)dx?2????2)??(???)； 方法二 不妨设0????，由于 ??02e??x2?ex2??x2????e?yx2dy， 而积分 ??ee?yxdx关于y在[?,?]上一致收敛，故可交换积分次序 2??0??x?ex2??x2dx?????0dx???e?yx2dy????dy???0e?yx2dx ???1y?2e??x2dy??e??x2?(???)； 方法三 将??0固定，记I(?)????0x??x22dx,　??0， 可证I(?)在(0,??)上收敛． 2设??[?,??),　??0， 由于e所以由Weierstrass判别法知道 积分运算的次序， 即 ???e??x2?e2??x，而 ?＋?０e??x2dx收敛， ?＋?０e??xdx对??[?,??)一致收敛．所以可以交换微分运算和 I?(?)????0(?ex2??x2)dx????0(?e??x2)dx??1?2?． 由?的任意性，上式在(0,??)上成立． 所以 I(?)?????x??C，由于I(?)?0,C?2??, 所以I(?)??(???)， 即 ???e??x2?ex20dx??(???)． 1 (2)若关于 x的方程kx?1x12?1，?k?0?在区间?0,???内有唯一的实数解，求常数k2x3. 解：设 f?x??kx?x2?1，那么有 f??x??k?， 11????3322???????当x??0,??时，f??x??0；当x???,??时，f??x??0. ??k????k??????1由此 ?2?3f?x?在x???处达成最小值， ?k?1x2又 f?x??kx??1在?0,???内有唯一的零点， 13必有 1??32?2?3?k?2????f???0，k??????1?0， ??k???k??2???3?1?2271??23?3??1， k2????1，k???4?4???2所以k?233. x（3）设函数 f?x?在区间?a,b?上连续，由积分中值公式，有?f?t?dt??x?a?f??a?， ?a??求 x?a?x?b?，若导数f???a?存在且非零， lim?x??ax?a. 解： ??f?t??f?a??dt??x?a??f????f?a??， a ??ax?a??f?t??f?a??dt， ?f????f?a??x?a??2a??a1x由条件，可知 x?alim???af????f?a??1f???a?， 2 x?alim???f?t??f?a??dtax?x?a???ax?a?122?lim?x?af?x??f?a?2?x?a??12f???a?， 故有 x?alim?. 二、设函数 f?x?在x?0邻近可微，f?0??0，f??0??a, ?1??2??n?定义数列xn?f??f?2????f?2?. 2??n??n??n?证明： ?xn?有极限并求其值. f?x?x证明：由导数的定义， 对于任意??0,存在??0，当0?|x|??时，有 ?a??. 于是 ?a???x?f?x???a???x，?0?x??? ???1从而，当n时，有 kn2?1n??， k?k??a???2?f?2???a???2nn?n?对于上式求和，得到 nk，其中k?1,2,?,n. ?a????k?1kn2n?xn??a????k?1kn2， 即 ?a???n?12n?xn??a???n?12n， 令n??，有 12?a????limxn?limxn??a??n??n???12, 由??0的任意性，得到 limxn?n??a2. 设 f?x?在??1,1?上有定义，在x?0处可导，且f?0??0. n证明：lim n???k?1f??0??k?f?2??. 2?n?3 三、设函数 fx?在 [0,??)， 上一致连续，且对任何 x?[0,1]，有 f(limn??证明： n)?0limf(x)?0x???。

试举例说明，仅有证明 证法一 f在 [0,??)上的连续性推不出上述结论 由 f在[0,??)上一致连续，对 ???0， ???0， 当 y1,y2?[0,??) 且 |y1?y2|??时， 便有 |f(y1)?f(y2)|?1k?2； 取定充分大的正整数，使得 k??现把区间 [0,1k]等分，设其分点为 xi?ik,i?0,?1,k,，每个小区间的长度小于? 对于任意 x?1， x?[x]?[0,1)； 从而必有 xi,i?{0,1,?,k}，使得|x?[x]?xi|??； ； 由条件对每个xi，有 limf(xn??i?n)?0 4 于是存在N，当n?N时， |f(xi?n)|??2，对 i?0,1,?,k都成立； 故当 x?N?1时，便有 ?|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|?2??2??， (x)?0即得 limfx???，结论得证 证法二 设 fn(x)?f(x?n),由题设条件知 {fn(x)}在 [0,1]上等度一致连续,对每一 x?[limfn(x)?0n??; 利用Osgood定理得, {fn(x)}在[0,1]上一致收敛于0, 对???0,存在N，当n?N时, 有 |f(x?n)|?|fn(x)|??,x?[0,1], 从而当 x?N?1时,有|f(x)|??, 即得limf(x)?0x???，结论得证。

设 f在 [0,??)上的连续，且对任何 x?[0,1]， 有 limf(x?n)?0(x)?0n??，但推不出 limf x???例如函数 f(x)?xsin?x1?x2sin2?x得志在 [0??,上的连续，5 0,,有1且对任何 — 7 —。