2024年上海虹口区高三二模数学试卷和答案.pdf

高中高中1上海虹口区 2023-2024 学年第二学期学生学习能力诊断测试高三数学试卷2024.4考生注意：考生注意：1.本试卷共本试卷共 4 页，页，21 道试题，满分道试题，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.本考试分设试卷和答题纸本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分相应位置，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题一、填空题（本大题共有共有 1212 题，题，满分满分 54 分，分，第第 1-61-6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1若3sin,5x则 cos2 x=_.2已知一个球的表面积为 36，则该球的体积为_.3过抛物线24yx焦点的弦 AB 的中点横坐标为 2，则弦 AB 的长度为_.4已知集合2tan0,0,_.xAxxBxABx则5已知随机变量 XB(50，p)，且 E X 20，则D X =_.6 3 个男孩和 3 个女孩站成一排做游戏，3 个女孩不相邻的站法种数为_.7已知一个三角形的三边长分别为 2,3,4,则这个三角形外接圆的直径为_.8.已知等比数列na是严格减数列，其前n项和为,nS12,a 若123,2,3aaa成等差数列，则limnnS=_.9已知平面向量,a b 满足3,4,4,aba b 若平面向量c满足1,cb则ca的最大值为_.10从某个角度观察篮球（如图 1）可以得到一个对称的平面图形（如图 2），篮球的外轮廓为圆O，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长 8 等分，且|ABBC|,CD则该双曲线的离心率为_.图 1图 2（第 10 题图）高中高中211如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 为菱形，且60.BAD若 AB=AA1=2,点 M 为棱 CC1的中点，点 P在 A1B 上，则线段 P A，PM 的长度和的最小值为_.12已知关于x的不等式2ln340 xk xxkx对任意0,x均成立，则实数k的取值范围为_.二二、选择题选择题（本大题共有本大题共有 4 4 题，题，满分满分 18 分，分，第第 13-1413-14 题每题题每题 4 4 分，第分，第 15-1615-16 题每题题每题 5 5 分分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13欧拉公式ei=cos+i sin把自然对数的底数 e,虚数单位 i，三角函数 cos和 sin联系在一起,被誉为“数学的天桥”.若复数z满足32()2eziii，则z（）A.2B.22C.5D.1014设()sin23 cos2f xxx，将函数()yf x的图像沿 x 轴向右平移6个单位，得到函数()yg x的图像，则（）A.函数 y=()g x是偶函数B.函数 y=()g x的图像关于直线2x对称C.函数 y=()g x在42，上是严格增函数D.函数 y=()g x在263，上的值域为3 2，15给出下列 4 个命题：若事件 A 和事件 B互斥，则()()();P ABP A P B 数据 2,3,6,7，8,10,11,13 的第 70 百分位数为 10；已知 y 关于 x 的回归方程为0.50.7yx，则样本点(2,1)的离差为0.7；随机变量 X 的分布为0123,0.20.20.30.3则其数学期望E X1.6.其中正确命题的序号为（）A B C D 高中高中316.已知定义在R上的函数(),f x g x的导数满足()fxgx，给出两个命题：对任意12,x x R，都有 1212f xf xg xg x；若 g x的值域为,m M，1,1,fm fM则对任意xR都有 f xg x.则下列判断正确的是（）A.都是假命题B.都是真命题C.是假命题，是真命题D.是真命题，是假命题三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，满分题，满分 78 分）分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.1717(本题满分本题满分 1414 分，分，第第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分)已知等差数列 na满足25a，9672aa（1）求 na的通项公式；（2）设数列 nb前n项和为,nS且221nnnbaa，若432mS，求正整数m的最小值1818(本题满分本题满分 1414 分，分，第第 1 1 小题小题 6 6 分，第分，第 2 2 小题小题 8 8 分分)如图，在三棱柱111ABCABC中，,CACBD为AB的中点，12,3.CACBCC（1）求证：1AC 平面1BCD；（2）若1CC 平面,ABC点 P 在棱1AA上，且PD 平面1BCD,求直线 CP 与平面1BCD所成角的正弦值1919(本题满分本题满分 1414 分，分，第第 1 1 小题小题 6 6 分，第分，第 2 2 小题小题 8 8 分分)某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取 100 件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：mg）5457606366件 数（单位：件）52146253(1)求样本质量差的平均数x；假设零件的质量差 X 2,N，其中216，用x作为的近似值，求5668PX的值；高中高中4(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的34来自第 1 条生产线.若两条生产线的废品率分别为 0.016 和 0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i）求抽取的零件为废品的概率；（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第 1 条生产线的概率.参考数据参考数据：若随机变量 X2,N，则()0.6827PX，(22)0.9545PX，(33)0.9973PX.20.（本题满分（本题满分 18 分分，第第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 8 分分）已知椭圆2222:1(0)xyabab的焦距为2 3,点 P(0,1)在椭圆上，动直线 与椭圆相交于不同的两点 A,B,且直线 PA,PB 的斜率之积为 1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线PA的法向量为(1,2),n 求直线 l 的方程；(3)是否存在直线 ,使得PAB为直角三角形？若存在，求出直线 l 的斜率；若不存在，请说明理由.21.（本题满分（本题满分 18 分分，第第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 8 分分）若函数()yf x满足：对任意12,x x R120,xx都有1212()()0f xf xxx，则称函数()yf x具有性质P.（1）设()e,xf x 3(),g xxx分别判断()yf x与()yg x是否具有性质P？并说明理由；（2）设 sin2,f xxax若函数()yf x具有性质P，求实数a的取值范围；（3）已知函数()yf x具有性质,P且图像是一条连续曲线，若()yf x在R上是严格增函数，求证：()yf x是奇函数.高中高中5参考答案和评分标准2024年 4 月一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，满分题，满分 54 分；分；第第 1-61-6 题每题题每题 4 4 分分;第第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分分）17252363.64,225126.1447.161515839.17110477119+2 1012.1,1e二二、选择题（本大题选择题（本大题共共 4 4 题，题，满分满分 18 分；分；第第 13-1413-14 题每题题每题 4 4 分，第分，第 15-1615-16 题每题题每题 5 5 分分）13.A14.D15.C16.B三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 题，满分题，满分 7878 分）分）17(本题满分本题满分 1414 分分，第，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分)解：解：(1)设等差数列 na的公差为d，则由条件，得11158725adadad，3分解得13a，2d，故1121naandn 6 分（2）由（1）可得123nan，则22(23)(21)8(1).nbnnn 8 分所以18,nnbb故数列 nb是以116b 为首项、8 为公差的等差数列，故168(1)4(3).2mmmTm m11 分因为432mT，所以23108mm，所以1290mm，所以9m 或12m 因为m为正整数，所以m的最小值是 1014 分18(本题满分本题满分 1414 分分，第，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分)证证：（1）连接 B1C与 CB1底相交于点 E，因四边形11BCC B为平行四边形，所以点 E 是 B1C的中点.2 分又因D为AB的中点，故DE为1BAC的中位线，从而1.ACDE4 分故由111BCD DEB DACC 平面,平面，得高中高中61AC平面1BCD.6 分解：解：(2)(2)由条件知1,CA CB CC两两垂直，故以点 C 为坐标原点，直线1,CA CB CC分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系;则相关点的坐标为：1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(2,0,3),CABDA11(0,2,3),(0,0,3).BC 8 分设点(2,0,t),P的坐标为则1(1,1,t),(1,1,3),DPDB 从而由1(1,1,t)(1,1,3)3t 20,DP DB 得2t.3所以点22(2,0,),(2,0,).33PCP 的坐标为故 10 分设平面1BCD的一个法向量为(,),nx y z则1(,)(1,1,0)0,(,)(0,2,3)230,n CDx y zxyn CBx y zyz 即,2,3xyzy 取3,y 得(3,3,2).n 12分设直线 CP 与平面1BCD所成的角为,则222(2,0,)(3,3,2)5533sincos,.21040(2,0,)(3,3,2)2239CP nCP nCPn 14分19(本题满分本题满分 1414 分分，第，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分)解解：（1）由条件得：样本平均数为54 557 21 60 4663 2566 360100 x 2分由22,60,16,XNx 得：(5668)(604602 4)PXPX 4 分高中高中7()(22)22PXPX 0.68270.95450.8186.226 分（2）（i）设 A=“随机抽取该企业生产的一个零件，该零件为废品”，1B“随机抽取的一个零件为第 1 条生产线生产”，2B“随机抽取一件零件为第 2 条生产线生产”.则由题意可知1231,44P BP B120.016,0.012.P A BP A B8 分于是由全概率公式，得 P A 1122310.01640.0120.015.4P BP A BP BP A B即从该企业抽取的零件为废品的概率为 0.015.11 分（ii）由条件概率公式,抽取的零件为废品，其来自第 1 生产线的概率为：111130.0164.0.01545P BPA BP BAP BAPAPA.14 分20（本题满分（本题满分 18 分，分，第第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 6 分）分）解解：（1）由条件知1,3,bc2分所以2224,abc于是椭圆的方程为221.4xy4 分（2）由条件知：直线 PA 的斜率为12，方程为11,2yx则由2211,214yxxy得，220,xx所以2.Ax 。