初中数学竞赛精品标准教程及练习52：换元法.doc

121 x初中数学竞赛精品标准教程及练习（52）换元法一、内容提要一、内容提要 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母 的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进 行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小； 若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5.倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程 ax4+bx3+cx2+bx+a=0.两边都除以 x2,得 a(x2+21 x)+b(x+x1)+c=0.设 x+x1=y, 那么 x2+21 x= y2－2, 原方程可化为 ay2+by+c－2=0. 对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0. ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以 x2, 可化为 a(x2+ )－b(x－x1)+c=0.设 x－x1=y, 则 x2+ =y2+2, 原方程可化为 ay2－by+c+2=0. 二、例题二、例题例 1. 解方程1112xxx=x.解：设11xx=y, 那么 y2=2x+212x.原方程化为： y－21y2=0 .解得 y=0；或 y=2.当 y=0 时， 11xx=0 (无解) 当 y=2 时， 11xx=2， 21 x2解得，x=45. 检验（略）.例 2. 解方程：x4+(x－4)4=626.解：（用平均值24 xx代换，可化为双二次方程.）设 y= x－2 ，则 x=y+2. 原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626. ［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0 整理，得 y4+24y2－297=0. (这是关于 y 的双二次方程). (y2+33)(y2－9)=0. 当 y2+33=0 时， 无实根 ； 当 y2－9=0 时， y=±3. 即 x－2=±3， ∴x=5；或 x=－1. 例 3. 解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0 . 解：∵这是个倒数方程，且知 x≠0，两边除以 x2,并整理 得 2(x2+21 x)+3(x+x1)－16=0. 设 x+x1=y, 则 x2+21 x=y2－2.原方程化为 2y2+3y－20=0. 解得 y=－4；或 y=25.由 y=－4 得 x=－2+3；或 x=－2－3.由 y=2.5 得 x=2；或 x=21.例 4 解方程组01012124012522222yxyxyxyxyxyx解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设 x+y=u, xy=v. 原方程组化为：01021201222vuuvuu. 解得   374 vu； 或  91132vu .即  374xyyx； 或  91132xyyx.3解得：  33213321yx ；或  33213321yx ；或 412412yx；或 412412yx.三、练习三、练习 52 解下列方程和方程组：（1 到 15 题）：1. )7(27xxxx35－2x.2. (16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2. 3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 . 4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.5. (2115x)4+(2315x)4=16.6. xxxx1 12=223. 7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0.8. 19182222xyyxyxyx9. 160311122yxyx.10. 563 964 467222xxxxxx.11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. 13511yxyx. 13. 1025yxxy yx.14. 01823312yxyyyxyx . 15 xxxx111.16. 分解因式： ①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2； ②a4+b4+(a+b)4 . 17. 已知：a+2=b－2=c×2=d÷2, 且 a+b+c+d=1989. 则 a=___,b= ____,c=_____,d=____ 18. ［a］表示不大于 a 的最大整数，如［2］=1， ［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x－21的所有根的和是_____.练习练习 52 参考答案：参考答案：41. 2212292. ±43±343. －254. 2,－23,46515.3231-32211，6. 1 7.21,2 8.   727272722332yxyxyxyx9.   555555555555 412 124yxyx yx yx10. 7,－1 11.－32,－3512.    103 58 yx yx13.    82 28 yx yx14.   1031041031041513yxyxyxyx15. x=25116.①设 x+y=a,xy=b ②设 a2+b2=x,ab=y17.设原式=k, k=442 18. –2 可设 2x－21=t, x=21t+41代入[3x+1] 。