解析几何的三大难点及突破策略.pdf

解析几何的三大难点及突破策略金 明 贺育林（ 广东省广州市真光中学，５ １ ０ ３ ８ ０）解析几何是用代数方法研究几何问题， 其核心思想是数形结合．解析几何问题具有综合性强、运算量大、 题目灵活多变等特点， 常用来考查学生的能力， 历来都是高考命题的热点内容．通过对解析几何综合性问题的求解， 可联结函数、 三角、 向量、 不等式等知识点， 增强知识的联系性， 强化对数学知识结构的认识， 提高分析问题、 解决问题的能力． 解析几何综合题的求解， 不仅要求学生有很强的思想性和综合运用知识的基础以及运算能力， 还需要有坚强的意志力．因而解析几何是培养学生能力的重要素材， 学好解析几何对学生今后的成长起到重要的作用．很多学生对于解析几何综合问题几乎到了“ 谈虎色变”的地步．究其原因， 可以概括为三个难点： “ 想不到” （ 即没有解题思路） 、 “ 消不去” （ 即设定参数消不了）和“ 算不对” （ 即运算出错）．针对这三大难点， 教师应给予学生哪些帮助呢？ 笔者作了一些初步的探讨， 旨在抛砖引玉．一、 构建“ 思维导图” ， 解决“ 想不到”问题“ 想不到”是学生解决解析几何问题存在的普遍问题． 学生遇到解析几何题不理解题意， 找不到解题思路， 其原因是多方面的， 客观原因是解析几何综合题包含的信息量大， 既有几何关系， 又有代数关系， 两个领域的联系隐蔽性强， 主观原因是学生没有掌握解析几何的思维特征与基本思想， 对于题目中的几何关系、 代数关系不能够准确转化，想不到条件和条件、 条件和结论之间的联系．为此， 教师应帮助学生审好题， 找到条件与结论之间的联系点， 建构“ 思维导图” ， 实现“ 代数关系”与“ 几何关系”的互化．例１ 已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０） 的离心率为１２， 以原点为圆心， 椭圆的短半轴为半径的圆与直线ｘ－ｙ＋槡６＝０相切．（１）求椭圆Ｃ的方程；图１（２） 设Ｐ（４，０） ，Ａ、Ｂ是椭圆Ｃ上关于ｘ轴对称的任意两个不同的点，连结Ｐ Ｂ交椭圆Ｃ于另一点Ｅ， 证明： 直线Ａ Ｅ与ｘ轴相交于定点Ｑ．学生拿到题目后， 很快能求出椭圆Ｃ的方程ｘ２４＋ｙ２３＝１， 再设Ｐ Ｂ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－４） ，由ｙ＝ｋ（ｘ－４） ，ｘ２４＋ｙ２３＝烅烄烆１得（４ｋ２＋３）ｘ２－３ ２ｋ２ ｘ＋６ ４ｋ２－１ ２＝０， 从而Δ＝（－３ ２ｋ２）２－４（４ｋ２＋３） （６ ４ｋ２－１ ２）＞０，ｘ１＋ｘ２＝３ ２ｋ２４ｋ２＋３，ｘ１ｘ２＝６ ４ｋ２－１ ２ ４ｋ２＋３．之后， 就此搁浅， 学生不清楚为什么要联立方程， 只是单纯的记忆和模仿．（ 以下是教师与学生的对话）师： 你怎么想到要联立方程组？生： 根据条件“ 直线Ｐ Ｂ交椭圆于Ｂ、Ｅ两点” ，要联立方程组．师： 很好， 求判别式、 利用韦达定理的目的是什么？生： ……师： 我们回头看看题目， 本题让我们求什么？ （ 意图： 养成“ 从结论入手” 的分析习惯， 看看求什么）生： 要证明直线Ａ Ｅ与ｘ轴相交于定点Ｑ．师： 刚才由方程组得到的坐标关系与要证明的结论有联系吗？ （ 意图： 学会寻找条件与结论的联系）生： ……０５数学通讯— — —２ ０ １ ４年第１，２期（ 上半月） ·辅教导学·师： 我们再看看已知条件和结论， 能否建立其联系．教师引导学生建立如下“ 思维导图” （ 思维导图可实现条件与结论的联系， 几何关系与代数关系的转换）建立“ 思维导图”后， 解题思路一目了然， 思维难点就得到了突破．以下具体求解过程由学生整理， 提供参考答案如下：设直线Ｐ Ｂ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－４） ，由ｙ＝ｋ（ｘ－４） ，ｘ２４＋ｙ２３＝烅烄烆１得（４ｋ２＋３）ｘ２－３ ２ｋ２ ｘ＋６ ４ｋ２－１ ２＝０． 设Ｂ（ｘ１，ｙ１） ，Ｅ（ｘ２，ｙ２） ， 则Ａ（ｘ１，－ｙ１） ， 从而有Δ＝（－３ ２ｋ２）２－４（４ｋ２＋３） （６ ４ｋ２－１ ２）＞０，ｘ１＋ｘ２＝３ ２ｋ２４ｋ２＋３，ｘ１ｘ２＝６ ４ｋ２－１ ２ ４ｋ２＋３．直线Ａ Ｅ的方程为：ｙ－ｙ２＝ｙ２＋ｙ１ ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ２） ， 令ｙ＝０， 得ｘ＝ｘ２－ｙ２（ｘ２－ｘ１） ｙ１＋ｙ２．又ｙ１＝ｋ（ｘ１－４） ，ｙ２＝ｋ（ｘ２－４） ， 代入并整理得：ｘ＝２ｘ１ｘ２－４（ｘ１＋ｘ２） ｘ１＋ｘ２－８＝１ ２ ８ｋ２－２ ４ ４ｋ２＋３－１ ２ ８ｋ２４ｋ２＋３ ３ ２ｋ２４ｋ２＋３－８＝１．所以， 直线Ａ Ｅ与ｘ轴相交于定点Ｑ（１，０）．说明 解决学生“ 想不到”的常用策略是：（１）画“ 思维导图” ， 找转化关系， 构建条件与结论的联系；（２）分析几何条件的本质特性， 选择适当的代数形式来表示， 通常和斜率、 中点、 距离有关；（３） “ 一般问题特殊化” ，找转化关系，构建思路．二、 合理引参， 解决“ 消不去”问题引参、 消参是解决解析几何的基本策略， 设定的参数消不去是学生解题时经常遇到的障碍．“ 消不去” 的客观原因是“ 坐标法” 本身涉及字母符号较多， 运算过程复杂．主观原因是几何问题代数化不清淅， 如不会从几何图形或从所给的方程和一些数据数值中挖掘几何性质， 导致代数化过于繁琐， 计算量增大．为此， 教师应帮助学生去分析题意的基础， 选定好参数， 总结引参、 消参的基本方法．例２ （２ ０ １ ３年广州一模） 已知椭圆Ｃ１的中心在坐标原点， 两个焦点分别为Ｆ１（－２，０） 、Ｆ２（２，０） ， 点Ａ（２，３）在椭圆Ｃ１上， 过点Ａ的直线ｌ与抛物线Ｃ２：ｘ２＝４ｙ交于Ｂ、Ｃ两点， 抛物线Ｃ２在点Ｂ、Ｃ处的切线分别为ｌ１、ｌ２， 且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ．（１）求椭圆Ｃ１的方程；（２） 是否存在满足｜Ｐ Ｆ１｜ ＋ ｜Ｐ Ｆ２｜＝｜Ａ Ｆ１｜＋ ｜Ａ Ｆ２｜的点Ｐ？ 若存在， 指出这样的点Ｐ有几个 （ 不必求出点Ｐ的坐标） ； 若不存在， 说明理由．分析 对于（１） ， 大多数学生很容易用待定系数法或定义法求出椭圆Ｃ１的方程ｘ２１ ６＋ｙ２１ ２＝１（ 当然两种方法运算量的大小不同， 用定义法运算量较小） ； 对于（２） ， 先用“ 思维导图”理清思路， 如下：学生由｜Ｐ Ｆ１｜ ＋ ｜Ｐ Ｆ２｜＝｜Ａ Ｆ１｜ ＋ ｜Ａ Ｆ２｜易知｜Ｐ Ｆ１｜ ＋ ｜Ｐ Ｆ２｜＝８，Ｐ在椭圆ｘ２１ ６＋ｙ２１ ２＝１上，而对于已知条件： 过点Ａ的直线ｌ与抛物线Ｃ２交于Ｂ、Ｃ两点， 抛物线Ｃ２在点Ｂ、Ｃ处的切线为ｌ１、ｌ２１５·辅教导学· 数学通讯— — —２ ０ １ ４年第１，２期（ 上半月）且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ， 易产生纠结， 是设直线的方程， 还是设Ｂ、Ｃ两点的坐标？此时， 应引导学生抓主要矛盾： 因为结论要求探讨是否存在Ｐ点， 且ｌ１与ｌ２交于Ｐ点， 故应设Ｂ、Ｃ两点的坐标， 且引入参数应尽可能少， 这样就能减少运算量．设Ｂ（ｘ１，ｘ２ １ ４） ，Ｃ（ｘ２，ｘ２ ２ ４） ， 由导数的几何意义，易得过Ｂ、Ｃ的切线ｌ１、ｌ２的方程为：ｌ１：ｙ＝ｘ１ ２ｘ－ｘ２ １ ４，ｌ２：ｙ＝ｘ２ ２ｘ－ｘ２ ２ ４．解方程组得两切线的交点Ｐ的坐标为：ｘＰ＝１ ２（ｘ１＋ｘ２） ，ｙＰ＝１ ４ｘ１ｘ２．此时还有两个参数ｘ１、ｘ２“ 消不去” ， 怎么办？分析条件可知： 还有条件“ 过点Ａ的直线ｌ与抛物线Ｃ２：ｘ２＝４ｙ交于Ｂ、Ｃ两点”未用， 为此可有如下策略．策略一 → Ｂ Ｃ＝（ｘ２－ｘ１，１ ４（ｘ２ ２－ｘ２ １） ） ，→ Ｂ Ａ＝（２－ｘ１，３－ｘ２ １ ４） ， 由Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线知： （ｘ２－ｘ１） （３－ｘ２ １ ４）＝１ ４（ｘ２ ２－ｘ２ １） （２－ｘ１） ， 化简得：２（ｘ１＋ｘ２）－ｘ１ｘ２＝１ ２． 将ｘＰ，ｙＰ代入上式得：ｙ＝ｘ－３； 即Ｐ点在直线ｙ＝ｘ－３上．策略二 设过Ａ（２，３） 的直线ｌ的方程为：ｙ－３＝ｋ（ｘ－２）． 由ｙ－３＝ｋ（ｘ－２） ，ｘ２＝４烅烄烆ｙ得：ｘ２－４ｋ ｘ＋８ｋ－１ ２＝０， 则ｘ１＋ｘ２＝４ｋ，ｘ１ｘ２＝８ｋ－１ ２．将ｘＰ、ｙＰ代入得：ｙ＝ｘ－３； 即Ｐ点在直线ｙ＝ｘ－３上．由此， 参数ｘ１、ｘ２就消去了，Ｐ点既在直线ｙ＝ｘ－３上， 又在椭圆ｘ２１ ６＋ｙ２１ ２＝１上． 要判断Ｐ点是否存在，只需要判断直线与椭圆是否有交点即可．由上例分析知， 解决“ 消不去”的策略是： 合理地引入参数， 设而不求， 用足题目所给条件， 找条件与结论的联系．三、 明晰算理， 解决“ 算不对”问题学生“ 算不对” ， 一部分原因是基础知识不扎实， 计算时丢三落四， 基本的代数式运算不过关，另一个重要原因是算理不清楚， 再就是缺乏信心、耐心和恒心．运算能力是学生的基本能力． 教师要以解析几何作载体训练学生的运算能力， 要帮助学生明晰算理， 培养求简意识， 让学生树立信心， 培养耐心和恒心， 全面提高学生的素质．图２例 ３ （２ ０ ０ ９ 年 全 国Ⅰ卷）如图２所示， 已知抛物线Ｅ：ｙ２＝ｘ与圆： （ｘ－４）２＋ｙ２＝ｒ２（ｒ＞０）相交于Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个点．（Ⅰ）求ｒ的取值范围；（Ⅱ）当四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的面积最大时， 求对角线Ａ Ｃ，Ｂ Ｄ的交点Ｐ的坐标．学生在解决第（Ⅰ）问时， 易出现如下解法：．将ｙ２＝ｘ代入（ｘ－４）２＋ｙ２＝ｒ２， 化简得：ｘ２－７ｘ＋１ ６－ｒ２＝０①方程有解， 故Δ＝（－７）２－４（１ ６－ｒ２）＞０， 解得ｒ２＞１ ５４．这个解法是错误的， 究其原因是算理不明， 转化不等价．事实上， 抛物线Ｅ：ｙ２＝ｘ与圆： （ｘ－４）２＋ｙ２＝ｒ２有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根ｘ１，ｘ２， 由此得：Δ＝（－７）２－４（１ ６－ｒ２）＞０，ｘ１＋ｘ２＝７＞０，ｘ１ｘ２＝１ ６－ｒ２＞０烅烄烆，解得１ ５４＜ｒ２＜１ ６， 又ｒ＞０， 所以ｒ的取值范围是（槡１ ５ ２，４）．学生在解决第（Ⅱ）问时， 会遇到以下障碍：（１）Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点的坐标如何设？ （２）Ａ Ｃ与Ｂ Ｄ的交点Ｐ的坐标如何求？ （３） 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的面积何时最大？事实上，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在抛物线Ｅ：ｙ２＝ｘ上， 故可设Ａ（ｘ１，ｘ槡１） 、Ｂ（ｘ１，－ｘ槡１） 、Ｃ（ｘ２，－ｘ槡２） 、Ｄ（ｘ２，ｘ槡２）．（ 这样设参的优点是： 利用了图形的对称性且参数尽可能少．）Ａ Ｃ的方程为：ｙ－ｘ槡１＝－ｘ槡２－ｘ槡１ ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１）①Ｂ Ｄ的方程为：２５数学通讯— — —２ ０ １ ４年第１，２期（ 上半月） ·辅教导学·ｙ＋ｘ槡１＝ｘ槡２＋ｘ槡１ ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１）②联立①②， 可解得直线Ａ Ｃ与Ｂ Ｄ的交点为Ｐ（ｘ１ｘ槡２，０）．设ｔ＝ｘ１ｘ槡２， 由（Ⅰ） 知ｔ＝１ ６－ｒ槡２且０＜ｔ＜７ ２．由于四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ为等腰梯形，因而其面积为Ｓ＝１ ２（２ ｘ槡１＋２ ｘ槡２） ·｜ｘ２－ｘ１｜＝（ｘ槡１＋ｘ槡２） ·｜ｘ２－ｘ１｜．要求其最大值， 有两大障碍： （１）有两个参数ｘ１、ｘ２； （２）含有根号与绝对值．可考虑先求Ｓ２的最大值．Ｓ２＝（ｘ１＋ｘ２＋２ ｘ１ｘ槡２） ［ （ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２］＝（７＋２ｔ）２（７－２ｔ） （０＜ｔ＜７ ２）．这样转化的目的是可用到（Ⅰ）的结论消去两个参数ｘ１、ｘ２而变为一个参数．解题至此， 很容易想到用导数来求其最值， 具体求解过程不详细叙述， 留给读者完成， 结论是：当ｔ＝７ ６时， 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ的面积最大， 故所求点Ｐ的坐标为（７ ６，０）．综合以上例题的求解过程， 解决“ 消不去” 、“ 算不对”的策略为：（１）明晰算理， 注意量与量之间的关系， 注意等价转化；（２）借助几何直观， 把几何条件代数化， 尽量减少参变量个数；（３）抓好基础知识与基本运算， 培养基本技能． 由于解析几何综合题涉及到函数、 不等式、 向量与三角等基础知识， 要求学生综合运用这些知识来解决问题， 基础知识不扎实会成为解题障碍．（４）要培养学生的意志力， 教育学生要有信心、 耐心、 细心与恒心． 解决解析几何综合题， 需要有。