人教A版必修五第一章解三角形课时训练：1.2.2空间距离问题含答案.doc

2019届数学人教版精品资料数学·必修5(人教A版)1.2.2 空间距离问题►基础达标1．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部侧得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)A．10米　　　 B．100米B．20米 D．30米解析：设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，如图，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30.在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos 30°，解得BC＝30.答案：D2.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面固定目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为(　　)A．2500(＋1)米 B．2500(－1)米C.4000米 D．4000 米解析：如下图所示，CD为AB边上的高，BD即为飞机与目标C的水平距离．由外角定理，∠ACB＝75°－30°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得：＝，∴BC＝5 000.又在Rt△ACD中，BD＝BC·cos 75°＝5 000·(－)＝2 500(－1)．[注：cos 75°＝(－)]答案：B3．在200 m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)A. m B. mC. m D. m解析：如下图所示，由题意知∠PBC＝60°，∴∠ABP＝90°－60°＝30°，又∠BPA＝60°－30°＝30°，∴AB＝PA.又在Rt△PBC中，BC＝200·tan 30°，∴在Rt△PAD中，PA＝＝.∵PA＝AB，∴AB＝.故选A.答案：A4．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是(　　)A．10海里 B.海里C．5海里 D．5海里解析：在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得：＝，∴BC＝5.故选D.答案：D5．在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.答案：20(1＋)►巩固提高6．如右图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树梢的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度h为(　　)A．(30＋30)m B．(30＋15)mC．(15＋30)m D．(15＋3)m答案：A7．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x＝________cm.解析：如下图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝10，∠ABC＝180°－105°＝75°，∠BCA＝180°－135°＝45°.∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.由正弦定理得：＝，∴x＝.答案：8．(2013·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形　 B．直角三角形C．钝角三角形　 D．不确定解析：因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，又sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A．联立两式得sin A＝sin Asin A.所以sin A＝1，A＝，选B.答案：B9．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少米？解析：如下图所示，依题意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，AE＝10，所以AB＝(30＋10)米．10.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如右图所示)的东偏南θ方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？解析：设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城，由题意可得：OP＝300，PQ＝20t，OQ＝r(t)＝60＋10t，∠OPQ＝α.因为cos θ＝，α＝θ－45°，所以sin θ＝，cos α＝， 由余弦定理可得：OQ2＝OP2＋PQ2－2·OP·PQ·cos α， 即(60＋10t)2＝3002＋(20t)2－2×300×20t×，即t2－36t＋288＝0，解得：t1＝12，t2＝24，t2－t1＝12，答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有12小时． 1.利用正弦定理和余弦定理来解空间距离问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．2．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算.。