2024届上海崇明区高三一模数学试题及答案.pdf

2023 学年第一学期高三第一次模拟考试学年第一学期高三第一次模拟考试 数数 学学 考生注意：1 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 2 本试卷分设试卷和答题纸试卷包括试题与答题要求作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分 3 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息 一、填空题一、填空题（本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，其中分，其中 16 题每题题每题 4 分，分，712 题每题题每题 5 分分）1不等式x21的解是 2双曲线=xy4122的焦距是 3若复数=+zmm4(2)i2（i为虚数单位）是纯虚数，则实数 m 的值为 4已知等比数列an首项=a11，公比=q2，则=S5 5+xx225的展开式中x2的系数为 （用数字作答）6已知圆锥的母线与底面所成角为45，高为 1，则该圆锥的母线长为 7在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)到xOy平面的距离为 8如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得 分 9已知事件 A 与事件 B 相互独立，如果=P A()0.4，=P B()0.7，则()P AB=10用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证为了建立数学模型，他们提出以下 3 个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同 你认为以此3 个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线 1 0 1 2 0 0 40 3 5 7 8（第 8 题图）11已知不平行的两个向量,a b满足1a=，3a b=若对任意的Rt，都有2bta成立，则b的最小值等于 12已知正实数a b c d,满足+=aab102，+=cd122，则当+acbd()()22取得最小值时，=ab 二、选择题二、选择题（本大题共有（本大题共有 4 题，满分题，满分 18 分，其中分，其中 1314 题每题题每题 4 分，分，1516 题每题题每题 5 分分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分】13已知集合=Axx23，=Bx x0，则AB=（）A2,3 B0,3 C+)0,(D+2,)14若xy0，则下列不等式正确的是（）Axy Bxy22 Cxy11 D+xyxy2 15已知点 M 为正方体DABCDABC1111内部（不包含表面）的一点给出下列两个命题：q1：过点 M 有且只有一个平面与AA1和BC11都平行；q2：过点 M 至少可以作两条直线与AA1和BC11所在的直线都相交 则以下说法正确的是 A命题q1是真命题，命题q2是假命题 B命题q1是假命题，命题q2是真命题 C命题q1，q2都是真命题 D命题q1，q2都是假命题 16若存在实数a b,，对任意实数x0,1，使得不等式+xmaxbxm33恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A+,93 B+9,8 3 C+3,3 D+2,3 三、解答题三、解答题（本大题共有（本大题共有 5 题，满分题，满分 78 分）分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17（本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 7 分，第(2)小题满分 7 分）如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，=PAABAD2，=CD1，=ADC90，E、F 分别为 PB、AB 的中点（1）求证：CE平面PAD；（2）求点 B 到平面PCF的距离 18（本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分）在ABC中，5a=，6b=（1）若4cos5B=，求 A 和ABC外接圆半径 R 的值；（2）若ABC的面积15 74S=，求 c 的值 19（本题满分 14 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用 TPI 表示，TPI 越大代表拥堵程度越高某平台计算 TPI 的公式为：TIP=实际行程时间畅通行程时间，并按 TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4 个等级：TPI)1,1.5)1.5,2)2,4 不低于 4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023 年元旦及前后共7 天与2022 年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图：（1）从 2022 年元旦及前后共 7 天中任取 1 天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从 2023 年元旦及前后共 7 天中任取 3 天，将这 3 天中交通高峰期城市道路 TPI 比 2022 年同日 TPI高的天数记为 X，求所有 X 的可能值及其发生的概率 20（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 8 分）已知抛物线21:4yx=，22:2yx=，直线l 交抛物线1于点A、D，交抛物线2于点B、C，其中点 A、B 位于第一象限（1）若点 A 到抛物线1焦点的距离为 2，求点 A 的坐标；（2）若点 A 的坐标为(4,4)，且线段 AC 的中点在 x 轴上，求原点 O 到直线 l 的距离；（3）若2ABCD=，求AOD与BOC的面积之比 21（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小题满分 8分）已知()sin(R0)f xmxx mm=+且（1）若函数()yf x=是实数集 R 上的严格增函数，求实数 m 的取值范围；（2）已知数列 na是等差数列（公差0d），()nnbf a=是否存在数列 na使得数列 nb是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列 na，并证明此时的数列 nb是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m=，是否存在直线ykxb=+满足：对任意的xR都有()f xkxb+成立，存在0 x R使得00()f xkxb=+？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由 评分标准评分标准 一、填空题 1.（1，3）；2.2 5；3.2；4.31；5.10；6.2；7.3；8.9；9.0.42；10.假设 2 中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设 3 中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚；11.7；12.212+.二、选择题 13.D；14.C；15.A；16.A.三、解答题 17.解（1）证明：取PA中点G，连接GE、GD，则/GE AB，12GEAB=，由于/CD AB，12CDAB=，所以/GE CD，GECD=，所以四边形CDGE是平行四边形，所以/CE GD，.4 分 由于CE不在平面PAD上，DG 平面PAD，所以CE/平面PAD；.7 分（2）设点B到平面PCF的距离为h，由题意，CFAB，又PA平面ABCD，所以CFPF 在RTPAF中，5PF=，所以152PFCSCF PF=.4 分 由P BCFB PCFVV=得1133BCFPCFSPASh=所以2 55h=，即点 B 到平面PCF的距离为2 55.7 分 18.解（1）因为4cos5B=，()0,B，所以23sin1 cos5BB=.2 分 由正弦定理，得2sinsinabRAB=，即5623sin5RA=，.4 分 所以1sin2A=，5R=，因为ab，所以0,2A，因此6A=，5R=.6 分（2）由1sin2ABCSabC=得15 72274sin5 64ABCSCab=，.2 分 于是23cos1 sin4CC=.4 分 当3cos4C=时，由余弦定理，得2223562 5 6164c=+=.6 分 当3cos4C=时，由余弦定理，得2223562 5 61064c=+=.所以，4c=或106c=.8 分 19.解（1）根据统计数据可得：2022 年元旦及前后共 7 天中，共有 2 天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”；.3 分 设 7 天中任取 1 天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为P，则27P=.6 分（2）根据统计数据可得：2023 年元旦及前后共 7 天中，交通高峰期城市道路 TPI 比 2022 年同日 TPI 高的天数共有 2 天，故0,1,2X=.2 分()3537C1020C357P X=；()215237CC2041C357P X=；()125237CC512C357P X=.8 分 20.解（1）抛物线24yx=的准线为1x=，因为点 A 到抛物线1焦点的距离为 2，所以点 A 到抛物线1准线的距离为 2，所以点A的横坐标为 1，故点A的坐标为(1,2).4 分（2）设00(,)C xy，则线段 AC 的中点坐标为0044(,)22xy+由题意，0402y+=，故04y=，所以(8,4)C.2 分 所以直线l的方程为：2120 xy+=.4 分 所以原点 O 到直线 l 的距离221212 5521d=+.6 分（3）由题意，直线l的斜率k显然存在且0k，设直线l的方程为ykxb=+设11223344(,),(,),(,),(,)A x yD xyB xyC xy 由2ABCD=，得31242()yyyy=，.2 分 由24yxykxb=+，得：204kyyb+=，所以124yyk+=，124by yk=同理，342yyk+=，342by yk=.4 分 所以12342()yyyy+=+，12342y yy y=由，得：23yy=，代入得142yy=，代入得2434yy=所以4412344442103473AODBOCyySyySyyyy=.8 分 21.解（1）因为函数()yf x=是实数集 R 上的严格增函数，所以()cos0fxmx=+对任意的xR 都成立.2 分 因为函数cosymx=+的最小值为1m，所以1m.4 分（2）sinnnnbama=+，若 nb是等差数列，则212nnnbbb+=对一切正整数n成立，即2211sinsin2sin2nnnnnnamaamaama+=+，将212nnnaaa+=代入化简得21sinsin2sinnnnaaa+=，即()()111sinsin2sinnnnadada+=，展开化简得()12sincos10nad+=对一切正整数n成立，所以cos1d=，故()20,dkkk=Z；.3 分 注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分 此时()()11sinsin1 21 2nnnbamaankm ank=+=+()111 2sinm nkmaa=+，所以12nnbbm k+=为常数，故 nb是等差数列.6 分 （3）令()(sin)()(1)sing xxxkxbk xxb=+=+则当mZ时，(2)2(1)sin11bbgmk mkk+=+1k 时，存在mZ使得(2)01bgmk+，即存在xR使得()f xkxb+，与题意不符 同理，1k 时，存在xR使得()f xkxb+，与题意不符.4 分 1k=时，()sing xxb=当1b 时，显然存在存在xR使得()0g x，即存在存在xR使得()f xkxb+当1b 时，对任意的xR都有()0g x，.6 分 当1b=时，存在02x=，使得00()=f xkxb+，且对任意的xR都有()0g x，即对任意的xR都有()f xkxb+综上，存在直线ykxb=+满足题意，直线方程为1yx=.8 分 。