I-3.0 布里渊区-3.1 简正模和格波-22.pptx

3.0 布里渊区的知识BZ,,布里渊区定义：在倒点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的垂直平分面，倒空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类推得到二维正方格子的布里渊区图见下页 由于布里渊区界面是某倒格矢 的垂直平分面，如果用 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒空间矢量，它必然满足方程：,该方程称作布里渊区的边界方程（界面方程）,,,,o,Kh,K,1/2Kh,,,布里渊区定义,布里渊区：,第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz原胞取法相同它是倒点阵的原胞一维、二维晶体的第一布里渊区,,,,,b=2/a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,取正格子基矢为,一维晶格点阵的布里渊区,可求出倒格子基矢为,,二维晶格点阵的布里渊区,取正格子基矢为,作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒格子平面分割成许多区域,可求出倒格子基矢为,二维正方格子的第一、二、三布里渊区,简单立方（sc）,± 1 2 𝒃 𝟏 =± 𝝅 𝒂 𝑥 ; ± 1 2 𝑏 2 =± ( 𝜋 𝑎 ) 𝑦 ; ± 1 2 𝑏 3 =±( 𝜋 𝑎 ) 𝑧,第一布里渊区边界是下面六个倒格矢的中点，并与之正交的平面：,,,,,,,,,,,kx,ky,kz,,,Γ,M,X,,2π/a,Δ <100>Σ <110>Λ <111>,R,布里渊区的高对称点-简单立方,简单立方格子的第一布里渊区是简单立方格子面心立方格子的第一布里渊区是截角八面体(十四面体)体心立方格子的第一布里渊区是棱形十二面体,三维晶格点阵的布里渊区,1st Brillouin Zone,fcc: 布里渊区的高对称点,,bcc: 布里渊区的高对称点,第三章 晶格动力学和晶体的热学性质,,,固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。

然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过 Dulong-Petit 定律认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究，1913年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye模型不足，所以1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。

后来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射” 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys，妻子）建立了多声子跃迁理论 1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英国牛津出版社，1954年）2006年中文版） 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起他是“极化激元”概念的最早阐述者我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献2000年7月31日，李爱扶，黄昆，李政道，杨振宁出席在香港召开的第三届全球华人物理学大会,考虑一个比较真实的周期性晶格模型，提出这样一个系统的运动不易用个别原子的振动去描述，而最容易用具有一定波矢、频率和偏振的行波来表示，称为系统的简正模，每个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是量子化的。

与晶体相联系的波的频率不是单一频率，而是具有一定的频率分布的，这个频率分布按照复杂的规律依赖与原子间的相互作用晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波由于波的振幅只在格点的原子上定义，所以叫格波,3.1 简正模和格波,,绝热近似：,固体是有大量的原子组成 →复杂的多体问题！,∵晶体中电子和正原子实的质量相 差很大：,∴正原子实的运动速度<< 电子,快速运动的电子能很快地适应正原子实的位置变化—正原子实固定在它的瞬间位置,近似认为正原子实不动→绝热近似→正电子实和原子运动分开,一、简正模-简谐近似,晶体中包含N个原子，3N个自由度，3N个位移矢量ui，表示原子对平衡位置的偏离约化坐标 𝑞 𝑖 = 𝑀 𝑖 𝑢 𝑖 系统哈密顿量𝐻=𝑇+𝑉 𝑞 1 , 𝑞 2 ,…, 𝑞 3𝑁 ，（泰勒展开） = 1 2 𝑖=1 3𝑁 𝑞 𝑖 2 +𝑉 0 + 𝑖 𝜕𝑉 𝜕 𝑞 𝑖 0 𝑞 𝑖 + 1 2 𝑖 𝑗 𝜕 2 𝑉 𝜕 𝑞 𝑖 𝜕 𝑞 𝑗 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 +… 𝑇: 动能项，𝑉: 势能项,一、简正模-简谐近似,在平衡位置：𝑉 0 =0,𝜕𝑉/𝜕 𝑞 𝑖 =0仅保留二次项（在简谐近似）𝐻= 1 2 𝑖 𝑞 𝑖 2 + 1 2 𝑖𝑗 𝜆 𝑖𝑗 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 其中 𝜆 𝑖𝑗 = 𝜕 2 𝑉 𝜕 𝑞 𝑖 𝜕 𝑞 𝑗 （力常数）系统的拉格朗日函数𝐿=𝑇−𝑉，由共轭动量的定义和正则方程 𝑝 𝑖 = 𝜕𝐿 𝜕 𝑞 𝑖 = 𝑞 𝑖 , 𝑝 𝑖 =− 𝜕𝐻 𝜕 𝑞 𝑖 得到 𝑞 𝑖 =− 𝜕𝐻 𝜕 𝑞 𝑖 =− 𝑗 𝜆 𝑖𝑗 𝑞 𝑗,*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!,简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.,* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐,* 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用的简谐项的微扰!,。