山东大学《线性代数》辅导课件06二次型.ppt

二次型一. 化二次型为标准形化二次型为标准形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法.注：将二次型 f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：(1) 写出二次型 f 的矩阵 A；(2) 求出 A 的全部相异特征值 1, 2, m，对每一个 ri 重特征值i，求出对应的 ri 个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的 r1+ r2+ + rm =n 个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个 n 阶方阵Q，则 Q 为正交阵且 Q1AQ=QTAQ= 为对角阵；(3)作正交变换 X=QY，即可将二次型化为只含平方项的标准形： f=XTAX=YT (QTAQ)Y=YT Y.注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：情形1 二次型中含有平方项，如含有 x12，此时先集中含有 x1 的项，对 x1 配成完全平方，再集中含有 x2 的项，对 x2 配成完全平方，如此继续下去，直到化为标准形，如例2 (*)式一步.情形2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性变换将二次型化为含平方项的二次型，如例2，再按情形1中介绍的方法做.注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有 |Y|2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=|X|2.即正交变换保持向量长度不变. 只有在正交变换下将二次型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型.二. 正定二次型及正定矩阵的判定主要有三种方法(1) 利用特征值判定；(2)利用定义判定；(3)利用顺序主子式判定.1. 利用特征值判定注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.注：若只是判定二次型的正定性，可采用较简便的方法求出二次型的标准形，并以此判定.2 利用定义判定3. 利用顺序主子式判定注：这类题一定用顺序主子式做.三. 证明题注：请读者特别注意例12、例13、例14、例15 中对正定阵的处理，用心体会其方法.。