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[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题26填空题问题:1. 已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为x的指数分布则E(XY)=______．答案:1[解析] 由题设得(X，Y)概率密度 故 问题:2. 设随机变量X和Y均服从，且D(X+Y)=1，则X与Y的相关系数ρ=______．答案:1[解析] 解得 问题:3. 设随机变量X服从分布E(1)，记Y=min{|X|，1}，则Y的数学期望E(Y)=答案:1-e-1[解析] 如果把Y看成X的函数，先求出Y的概率密度，然后求E(Y)会较麻烦．可以直接用公式： E(g(x))=∫+∞-∞g(x)f(x)dx，其中f(x)为X的密度函数． 现E(Y)=E(min{|X|，1})=∫+∞-∞min(|x|，1)f(x)dx =∫+∞-∞min(|x|，1)e-xdx=∫10xe-xdx+∫+∞11·e-xdx =1-2e-1+e-1=1-e-1． 问题:4. 设连续型随机变量X的分布函数已知E(X)=1，则D(X)=______．答案:1[解析] 则 对比指数分布的密度 得λ=1=b． 问题:5. 相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布，则D(|X1-X2|)=______．答案:[解析] X1与X2独立均服从，记Z=X1-X2，则Z～N(0，1)，有概率密度 D(|X1-X2|)=D(|Z|)=E(|Z|2)-(E|Z|)2=E(Z2)-(E|Z|)2 显然，D(Z)=1，E(Z)=0， 因此， 问题:6. 设(X，Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22；ρ)(σ1＞0，σ2＞0)，则 答案:N(0，μ2；1，；ρ)[解析] 显然也服从二维正态． 由于故(0，μ2，1，；ρ1)， 其中ρ1是与Y的相关系数． 问题:7. 设随机变量X和Y的联合分布为，则X和Y的协方差cov(X，Y)=______．答案:-0.1[解析] 显然，EX=0.5，EY=(-1)·(0.3)+1·(0.3)=0． E(XY)=-P{XY=-1)+P{XY=1)=-0.2+0.1=-0.1． cov(X，Y)=E(XY)-EXEY=-0.1-0=-0.1 问题:8. 设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差为σ2＞0，记和，则Y1和Yn的协方差cov(Y1，Yn)=______．答案:(n-2)σ2[解析] 问题:9. 设随机变量X在[-1，b]上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有P{|X-1|＜ε)≥，则b=______；ε=______．答案:3；2[解析] 由题设知依题意 所以 因此 问题:10. 将一个骰子重复掷n次，各次掷出的点数依次为X1，…，Xn．则当n→∞时，依概率收敛于______．答案:[解析] 题目要求我们计算为此我们需要应用大数定律或依概率收敛的定义与性质来计算．由题设知X1，…，Xn独立同分布： 且 根据辛钦大数定律：(n→∞)．问题:11. 设随机变量列X1，X2，…，Xn，…相互独立且同分布，则X1，X2，…，Xn，…服从辛钦大数定律，只要随机变量X1______．答案: 期望存在[解析] 辛钦大数定律的条件是Xi独立同分布，且期望存在．而切比雪夫大数定律的条件是Xi不相关且方差有界．问题:12. 假设随机变量X1，X2，…，X2n独立同分布，且EXi=DXi=1(1≤i≤2n)，如果，则当常数c=______时，根据独立同分布中心极限定理，当n充分大时Yn近似服从标准正态分布．答案:[解析] 记Zi=X2i-X2i-1，则Zi(1≤i≤n)独立同分布且EZi=0，DZi=2．由独立同分布中心极限定理知，当n充分大，近似服从标准正态分布，所以 问题:13. 已知随机变量X1，…，Xn相互独立且都服从标准正态分布，Y1=X1，，则Y1-Y2服从______分布，参数为______．答案: 正态；[解析] 为相互独立正态变量和，故Y1-Y2服从正态分布，又，所以 问题:14. 已知X1，X2，…，Xn为取自分布为F(x)的总体X的简单随机样本．记X=min(X1，…，Xn-1)和Y=Xn，则X的分布函数FX(x)=______，Y的分布函数FY(y)=______和(X，Y)的联合分布G(x，y)=______．答案:1-[1-F(x)]n-1；F(y)；{1-[1-F(x)]n-1}F(y)[解析] 根据简单随机样本各分量Xi相互独立且与X同分布，有 Fx(x)=P{min(X1，X2，…，Xn-1)≤x} =1-P{min(X1，X2，…，Xn-1)＞x} =1-P{X1＞x，X2＞x，…，Xn-1＞x) =1-P{X1＞x}P{X2＞x)…P{Xn-1＞x} =1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]…[1-P{Xn-1≤x}] =1-[1-F(x)]n-1． FY(y)=P{Xn≤y}=F(y) G(x，y)=P{min(X1，…，Xn-1)≤x，Xn≤y} =P{min(X1，…，Xn-1)≤x}P{Xn≤y} ={1-[1-F(x)]n-1}F(y)． 问题:15. 已知总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，X1，…，Xn与Y1，…，Yn为分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，样本均值与方差分别为，；，，则统计量服从______分布，参数为______．答案:F；(1，2n-2)[解析] 由于两个总体都服从正态分布N(0，σ2)，且样本又相互独立，因此容易求得与的分布，再应用典型模式确定F的分布． 由于X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)，所以，与相互独立，故又，与相互独立，根据χ2分布可加性，得 又，相互独立，从而推出与相互独立，由F分布的典型模式，得 问题:16. 已知(X，Y)的概率密度为，则服从参数为______的______分布．答案:(1，1)；F[解析] 由题设知(X，Y)服从二维正态分布，且 故X～N(0，22)，Y～N(1，32)，且ρ=0，所以X与Y独立，根据F分布典型模式知 问题:17. 设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，而．记，则(0≤k≤n)答案:[解析] ，Xi为一次伯努利试验的结果，Xi相互独立． 所以X1+X2+…+Xn可以看成n次独立重复试验．即 问题:18. 设总体X的概率密度为(-∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则E(S2)=______．答案:2[解析] 显然E(S2)=D(X)，而DX=E(X-EX)2． 现求 问题:19. 设随机变量X～t(n)，Y～F(1，n)，常数C满足P{X＞C}=0.6，则P{Y＞C2}=______．答案:8[解析] X～t(n)．所以根据t(n)分布随机变量的典型模式．可以表示 其中①X1～N(0，1)；②Y1～χ2(n)；③X1，Y1相互独立． 现来考虑，其中；②Y1～χ2(n)；③，Y1相互独立． 由于t(n)的概率密度是偶函数，故P{X＞C)=0.6，可知C＜0． P(Y＞C2)=P{X2＞C2)=P{X＞-C}+P{X＜C}=2P{X＜C} =2[-1-P{X≥C}]=2[1-P{X＞C)]=2[1-0.6]=0.8． 问题:20. 设X1，X2，…，Xn来自总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记样本方差S2，则D(S2)=______．答案:[解析] 由性质：和D(χ2(n-1))=2(n-1)， 可知所以 问题:21. 设X1，X2，…，X6是来自正态分布N(0，σ2)的简单随机样本． 统计量服从F(n1，n2)分布，其中a为常数，则参数n1和n2分别为______．答案:2和4[解析] 且它们是相互独立的．故 问题:22. 设X1，X2，…，X6是来自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，已知统计量服从t分布，则常数=______．答案:1[解析] (X1+X2+X3)～N(0，3σ2)，所以 ，且与相互独立， 因此，所以a=1．问题:23. 假设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n是来自总体X容量为2n的一组简单随机样本，统计量，则当σ2已知，c=______时，Y服从χ2分布，其自由度为______；当σ2未知，c=______时，Y为σ2的无偏估计．答案:[解析] 记Yi=X2i-X2i-1(i=1，2，…，n)，则Yi～N(0,2σ2)且相互独立，故，因此当σ2已知，时Y～χ2分布，其自由度为n． 令，解得，所以，当时，Y为σ2的无偏估计．问题:24. 设总体X的概率分布为， 其中为未知参数，对总体抽取容量为10的一组样本，其中5个取1，3个取2，2个取0．则θ的矩估计值为______，最大似然估计值为______．答案:[解析] 应用矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果，事实上，令，其中即令 ，解得θ矩估计量由样本值算得，故θ矩估计值为 又样本似然函数 lnL=5ln2+9lnθ+11ln(1-θ)，令 解得θ最大似然估计值为 问题:25. 假设X1，X2，…，X16是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，为样本均值，S2为样本方差，如果，则a=______．(t0.05(15)=1.7531)．答案:4383[解析] 要由求a，必须知道的分布． 由于X～N(μ，σ2)，故，与S2独立，所以 因此，由知，4a是t(15)分布上α=0.95的分位点t0.95(15)，即4a=t0.95(15)，由于t分布密度函数是关于x=0对称的，所以有 -tα=t1-α，4a=t0.95(15)=-t0.05(15)=-1.7531，a=-0.4383． 问题:26. 设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知，现从中随机抽取9个零件．测得样本均值和方差分别为和S2=1(mm)，设在0.90的置信度卜的μ的置信区间为(40-αt0.05(β)，40+αt0.05(β))，则α和β应为______．答案:和8[解析] 由σ2未知条件下，对μ区间估计公式： 知，β=n-1=8． 问题:27. 设X1，X2，…，Xn是来自区间[-a，a]上均匀分布的总体X的简单随机样本，则参数a的矩估计量为______．答案:[解析] 由于EX=0，不能用一阶矩来估计． ，样本二阶矩为 即 问题:28. 设X1，X2，…，Xn是来自总体为区间[θ，θ+2]上均匀分布的X的简单随机样本，是样本均值，则未知参数θ的矩估计量 答案:[解析] 矩估计有故 问题:29. 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为，-∞＜x＜+∞，λ＞0，则λ的最大似然。