微分中值定理与导数的应用精选.doc

第三章 微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.一、 费马引理：设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么证：不妨设时，，对于，有，故当时，；当时，，由保号性，，故罗尔定理（Rolle）：如果函数满足：（1）在闭区间上连续 （2）在开区间内可导，（3），则至少存在一点，使得在该点的导数等于零：=0证明：由于在上连续，故在上有最大值和最小值①时，则时，，故，，即内任一点均可作为，②当时，因为，故不妨设（或设），则至少存在一点，使，因在内可导，所以因，故，，所以注：1、证明一个数等于0往往证其，又，或证明其等于它的相反数2、称导数为0的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。

3、罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.例：　　　　　　　　　　　　　　图： 　 4、罗尔定理中这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.例1：不求导数, 判断函数的导数有几个零点及这些零点所在的范围..解：因为，所以在上满足罗尔定理的三个条件，所以在内至少存在一点，使，即是的一个零点，又在内至少存在一点，使，即是的一个零点，又为二次多项式，最多只能有两个零点，故恰好有两个零点分别在区间，内例2：证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证: 1) 存在性 .　设则在 [0 , 1 ] 连续 , 由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件 至少存在一点但矛故假设不真!二、拉格朗日中值定理1）Lagrange中值定理（或有限增量定理，微分中值定理）：如果函数满足：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导则至少存在一点，使证明：构造辅助函数则在上连续，在内可导，且所以至少存在一点，使，即，所以显然时，此公式也成立，此公式称为Lagrange公式。

注1：拉格朗日中值公式反映了可导函数在上整体平均变化率与在内某点处函数的局部变化率的关系.因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.2：直线，故既为有向线段值的函数3：当时，此定理即为罗尔定理，故罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形几何意义：若连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在点处切线平行于弦Lagrange公式变形：设，，则有在或上就有（）或记，则有，[故也叫有限增量定理]注：当不是很小，而是有限时，定理：如果函数在区间I上的导数恒为零，则（，C为常数）证：对，，（设），则由Lagrange公式有由，有，所以，推论：连续函数在区间上有，则证：对，设，则，所以，即例3：证明 证：设由推论可知令 x = 0 , 得又故所证等式在定义域 上成立.例4：证明当时，证：设，则在上连续，在内可导，所以至少有一点，使，即，因，当时，例5：设在上连续，在内二阶可导，连接点的直线和曲线交于点（），，证明在内至少存在一点，使证明：因在上连续，在内可导，又因为，所以至少存在一点，使至少存在一点，使因为点，，在同一直线上，所以又因为在内可导，故在内可导，且在上连续，由Rolle定理，至少有一点，使，二、 柯西中值定理柯西中值定理：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点处均不为零，那么在内至少有一点，使成立。

证明：构造辅助函数则在上连续，在内可导，且，那么由罗尔定理，至少存在一点，使即　　　所以　[设为： ，其它与Lagrange辅助函数设法相同]注：1）Lagrange定理是柯西中值定理的情况2）：因中是同一个字母，若分子、分母分别使用Lagrange定理，则为两个字母例5：设函数在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点使证: 问题转化为证设则在 [0, 1] 上满足柯西中值定理条件因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 x ,使即课堂练习：1、设 为满足的实数, 试证明方程 在内至少存在一个实根.2、设在上连续, 在内可导, 且 证明: 存在, 使成立.3、设函数在上连续, 在内可导, 且若存在常数使得试证至少存在一点使得罗尔（Rolle，1652~1719）简介：罗尔是法国数学家1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎罗尔出生于小店家庭，只受过初等教育，且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数与丢番图的著作，并很有心得1682年，他解决了数学家奥扎南提出一个数论难题，受到了学术界的好评，从而名身雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行征官员。

1685年进入法国科学院，担任低级职务，到1690年才获得科学院发给的固定薪水此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，由于这一新生事物不存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，其中也包括罗尔，并且他是反对派中最直言不讳的一员1700年，在法国科学院发生了一场有关无穷小方法是否真实的论战在这场论战中，罗尔认为无穷小方法由于缺乏理论基础将导致谬误，并说：“微积分是巧妙的谬论的汇集”瓦里格农、索弗尔等人之间，展开了异常激烈的争论约翰.贝努利还讽刺罗尔不懂微积分由于罗尔对此问题表现得异常激动，致使科学院不得不屡次出面干预直到1706年秋天，罗尔才向瓦里格农、索弗尔等人承认他已经放弃了自己的观点，并且充分认识到无穷小分析新方法价值罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根一百多年后，即1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）简介：据拉格朗日本人回忆，幼年家境富裕，可能不会作数学研究，但到青年时代，在数学家F.A.雷维里（R-evelli）指导下学几何学后，萌发了他的数学天才。

17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析他的学术生涯可分为三个时期：都灵时期（1766年以前）、柏林时期（1766—1786）、巴黎时期（1787—1813）拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期当时数学、物理学和天文学是自然科学主体数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学了主流是力学；天文学的主流是天体力学数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下：数学分析的开拓者1．变分法 这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”是他研究变分法的序幕；1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”是用分析方法建立变分法制代表作发表前写信给欧拉，称此文中的方法为“变分方法”欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”。

变分法这个分支才真正建立起来2．微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数微分方程研究做工出了重大成果他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程在柏林期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G.达布等人完成的除此之外，他还是一阶偏微分方程理论的建立者3．方程论拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上他把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因拉格朗日的想法已蕴含了置换群的概念，他的思想为后来的N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题.此外,他还提出了一种格朗日极数.4.数论著 拉格朗日在1772年把欧拉40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。

后来还证明了著名的定理：n是质数的充要条件为（n-1）!+1能被n整除5．函数和无穷级数 同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数同是多项式的推广泰勒级数中的拉格朗日余项就是他在这方面的代表作之一分析力学的创立者拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法天体力学的奠基者首先在建立天体运动方程上，他用他在分析力学中的原理，建议起各类天体的运动方程其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛作用在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解总之，拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献但主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具同时在使天文学力学化、力学分析上也起了历史性的作用，促使力学和天文学（天体力学）更深入发展由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取得更多成果。

柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789~1857）——业绩永存的数学大师19世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支，内容丰富，应用非常广泛，与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了数学分析严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要推伟大的数学定柯西。