三角函数关系.doc

倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan2α sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3α tan3α＝—————— 1－3tan2α 三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 α＋β α－β sinα＋sinβ＝2sin———·cos——— 2 2 α＋β α－β sinα－sinβ＝2cos———·sin——— 2 2 α＋β α－β cosα＋cosβ＝2cos———·cos——— 2 2 α＋β α－β cosα－cosβ＝－2sin———·sin——— 2 2 1 sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 2 1 cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）] 2 1 cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）] 2 1 sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）] 2三角函数的化简、求值与证明一、知识回顾1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明 二、基本训练1、已知是第三象限角，且，那么等于　　　（　　　）　A、　　　　B、　　　　C、　　　　D、2、函数的最小正周期　　　　　　　　　　（　　　）　A、　　　　　B、　　　　　C、　　　　　D、3、等于　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）　A、1　　　　　　B、2　　　　　　C、－1　　　　　D、－24、已知，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

5、设，则＝＿＿＿＿＿三、例题分析例1、化简：例2、设，求的值例3、求证：例4、已知，求的值例5、（05北京卷） 已知=2，求 （I）的值； （II）的值．例6、（05全国卷Ⅲ）已知函数求使为正值的的集合.例7、(05浙江卷)已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx．(Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．四、作业 1、已知，则的值等于　　　　　　　　　　（　　　）　A、　　　　B、　　　　C、　　　　D、2、已知、是方程的两根，且，则等于　（）　A、　　　　B、　　　　C、或　　　　D、或3、化简为　　　　　　　　（　　　　）　A、　　　　B、　　　　C、　　　　D、4、（全国卷Ⅲ） (A) (B) (C) 1 (D)5、（山东卷）函数，若，则的所有可能值为（ ） （A）1 （B） （C） （D）6、（全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，若 ，则tan 2a =______________.7、（北京卷）已知tan =2，则tanα的值为－，tan的值为－ 8、已知，则的值为＿＿＿＿＿＿＿。

9、已知A、B为锐角，且满足，则＝＿＿.10、求证：11、已知，试用表示的值12、求值：13、已知，求的值答案：基本训练、1、A　　2、B　　3、D 4、[－1，]　　5、例题、例1、　　例2、　　例3、略　　例4、例5、解：（I）∵ tan=2, ∴ ;所以=；（II）由(I), tanα=－, 所以==.例6、解：∵………………………………………………2分…………………………………………………4分 …………6分…………………………8分…………………………………………10分 又 ∴………………………12分例7、解：(Ⅰ) (Ⅱ) 解得 作业、1—5、DBBBB 6、 7、- 8、 9、 10、略　　11、　　12、13、3。