材料力学(I)第三章.ppt

材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转第第 3 章章 扭扭 转转§3-1 概述概述§3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转§3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图§3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力· 强度条件强度条件§3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件刚度条件§3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*§3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形时的应力与变形1材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转§3-1 概概 述述变形特点变形特点: Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动；相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线；杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形实际构件在工作时除发生扭转变形 外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。

外，还伴随有弯曲或拉、压等变形 受力特点：受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶面内的外力偶Me作用下发生扭转作用下发生扭转2材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转圆轴扭转变形圆轴扭转变形动画动画3材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 本章研究杆件发生除本章研究杆件发生除扭转变形扭转变形外，其它变形可外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面忽略的情况，并且以圆截面(实心或空心圆截面实心或空心圆截面)杆为主要研究对象此外，所研究的问题限于杆杆为主要研究对象此外，所研究的问题限于杆弹性范围内工作的情况弹性范围内工作的情况4材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转§3-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒薄壁圆筒——通常指通常指 的圆筒的圆筒 当其两端面上作用有当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩上的内力偶矩——扭矩扭矩(torque)5材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转动画动画6材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律表面变形情况：表面变形情况：(1) 圆周线只是绕圆筒轴线转动圆周线只是绕圆筒轴线转动,形状及尺寸不变；形状及尺寸不变；(2) 纵向直线在小变形情况下保持为直线纵向直线在小变形情况下保持为直线,但发生但发生倾斜倾斜;(3)圆周线之间的距离保持不变。

圆周线之间的距离保持不变7材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转推论：推论：(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如横截面如 同刚性平面一样；同刚性平面一样；(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变面之间的距离未变8材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转横截面上的应力：横截面上的应力：(1) 只有与圆周相切的切应力只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，，且且圆周上所有点处的切应力相同；圆周上所有点处的切应力相同；(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3) 横截面上无正应力横截面上无正应力9材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转引进　　　　，上式亦可写作引进　　　　，上式亦可写作Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由由 根据应力分布可根据应力分布可知知 ，于是有，于是有10材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转Ⅲ. 剪切胡克定律剪切胡克定律(Hooke’s law in shear)(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g g，，这种直角改变量称为切应变这种直角改变量称为切应变(shearing strain)。

2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j j角，这种角位移称为相对扭转角角，这种角位移称为相对扭转角3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是变也是 不沿壁厚变化的，故有不沿壁厚变化的，故有g g =j j r0/l，，此处此处r0为为薄壁圆筒的平均半径　薄壁圆筒的平均半径　11材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t t 不超过材料的剪切比例极限不超过材料的剪切比例极限t tp时，外力偶矩时，外力偶矩Me(数数值上等于扭矩值上等于扭矩T )与相对扭转角与相对扭转角j j 成线性正比例关成线性正比例关系，从而可知系，从而可知t t 与与g g 亦成线性关系：亦成线性关系： 这就是材料的这就是材料的剪切胡克定律剪切胡克定律，式中的比例系，式中的比例系数数G称为材料的称为材料的切变模量切变模量(shear modulus) 钢材的切变模量的约值为：钢材的切变模量的约值为：G =80GPa12材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转§3-3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图Ⅰ. 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在外力偶在t 秒钟内所作功等于外力偶之矩秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以乘以轮在轮在t 秒钟内的转角秒钟内的转角a a 。

13材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 因此，外力偶因此，外力偶Me每秒钟所作功，每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为即该轮所传递的功率为 因此，在已知传动轴的转速因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个亦即传动轴上每个轮的转速轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：14材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反动方向相反15材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转Ⅱ. 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩传动轴横截面上的扭矩T 可利用可利用截面法截面法来计算16材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 扭矩的正负规定可按右手螺旋法则表示：扭扭矩的正负规定可按右手螺旋法则表示：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。

矩矢量离开截面为正，指向截面为负17材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n=300 r/min，，转向如图所转向如图所示主动轮示主动轮A输入的功率输入的功率P1= 500 kW，，三个从动三个从动B、、C、、D轮输出的功率分别为：轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，，P3= 150 kW，，P4= 200 kW试作轴的扭矩图试作轴的扭矩图 例题例题 3-118材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 计算作用在各轮上的外力偶矩计算作用在各轮上的外力偶矩 主动轮上主动轮上M1的转向和轴的转向相同，从动轮上的转向和轴的转向相同，从动轮上的的M2、、M3、、M4的转向和轴的转向相反的转向和轴的转向相反例题例题 3-119材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2. 计算各段的扭矩计算各段的扭矩BC段内：段内：AD段内：段内：CA段内：段内：( (负负) )注意这个扭矩是假定为负的注意这个扭矩是假定为负的例题例题 3-120材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转3. 作扭矩图作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在在CA段内，其值为段内，其值为9.56 kN·m。

例题例题 3-121材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转思考：如果将从动轮思考：如果将从动轮D与与C的位置对调，试作该传动的位置对调，试作该传动 轴的扭矩图这样的布置是否合理？轴的扭矩图这样的布置是否合理？22材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转§3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力·强度条件强度条件Ⅰ. 横截面上的应力横截面上的应力表面表面变形变形情况情况推断推断横截面横截面的变形的变形情况情况( (问题的问题的几何方面几何方面) )横截面横截面上应变上应变的变化的变化规律规律应力应力- -应变关系应变关系横截面上横截面上应力变化应力变化规律规律( (问题的问题的物理方面物理方面) )内力与应力的关系内力与应力的关系横截面上应力横截面上应力的计算公式的计算公式( (问题的问题的静力学方面静力学方面) )23材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 表面变形情况：表面变形情况：(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b) 纵向线倾斜了一个角度纵向线倾斜了一个角度g g 。

平面假设平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径1) 几何方面几何方面24材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律 即即bbTTO1O2dj GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj D'G'GO2d/2dxgrgr25材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 式中式中 ——相对扭转相对扭转角角j j 沿杆长的变化率，常沿杆长的变化率，常用用j j' 来表示，对于给定来表示，对于给定的横截面为常量的横截面为常量 可见，在横截面的同一半径可见，在横截面的同一半径 r r 的圆周上各点的圆周上各点处的切应变处的切应变g gr r 均相同；均相同； g gr r与与r r 成正比，且发生在与成正比，且发生在与半径垂直的平面内。

半径垂直的平面内bbTTO1O2dj GG'DD'aadxAEggrr26材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(2) 物理方面物理方面由剪切胡克定律由剪切胡克定律 t t = Gg g 知知 可见，在横截面的同一半径可见，在横截面的同一半径 r r 的圆周上各点的圆周上各点处的切应力处的切应力t tr r 均相同，其值均相同，其值 与与r r 成正比，其方成正比，其方向垂直于半径向垂直于半径27材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转其中其中 称为横截面的称为横截面的极惯极惯性矩性矩Ip(单位单位:m4)，它是横截面的，它是横截面的几何性质几何性质3) 静力学方面静力学方面从而得等直圆杆弹性范围内扭转时，横截面从而得等直圆杆弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式上任一点处切应力计算公式以以 代入上式得：代入上式得：28材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转式中式中Wp称为称为扭转截面系数扭转截面系数，，其单位为其单位为 m3横截面周边上各点处横截面周边上各点处(r r = r)的的最大切应力为最大切应力为29材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(1) 实心圆截面实心圆截面Ⅱ.Ⅱ.圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数和扭转截面系数Wp30材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转思考：对于空心圆截面，思考：对于空心圆截面， ，其，其原因是什么？原因是什么？(2)空心圆截面空心圆截面31材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 以横截面、径向截面以及与表面平行的面以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切切向截面向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体截取一微小的正六面体——单元体。

单元体可得可得ⅢⅢ. 单元体单元体· 切应力互等定理切应力互等定理 由单元体的平衡条件由单元体的平衡条件∑Fx=0 和和∑Mz=0 知单元体的上、知单元体的上、下两个平面下两个平面(即杆的径向截面上即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一必有大小相等、指向相反的一对力对力t t'dxdz并组成其矩为并组成其矩为(t t'dxdz)dy 力偶32材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力面的交线垂直的切应力t t 和和t t  数值相等，且均指数值相等，且均指向向(或背离或背离)该两个面的交线该两个面的交线——切应力互等定理切应力互等定理33材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转思考：对于图示单元思考：对于图示单元体，切应力体，切应力t t、、 t t' 、、t t 、、 t t  是否互等？是否互等？34材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面斜截面 ef (如图如图)上的应力。

上的应力ⅣⅣ. 斜截面上的应力斜截面上的应力35材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转分离体上作用力的平衡方程为分离体上作用力的平衡方程为利用利用t t =t t '，，经整理得经整理得36材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转由此可知：由此可知： (1) 单元体的四个侧面单元体的四个侧面(a a = 0°和和 a a = 90°)上切应上切应力的绝对值最大；力的绝对值最大； (2) a a =-45°和和a a =+45°截面上切应力为零，而正截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；应力的绝对值最大；37材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关因此这种应力状态称为因此这种应力状态称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态38材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转低碳钢扭转试验低碳钢扭转试验演示演示39材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转低碳钢扭转破坏断口低碳钢扭转破坏断口 40材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转铸铁扭转破坏试验演铸铁扭转破坏试验演示示41材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转铸铁扭转破坏断口铸铁扭转破坏断口42材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图的断口分别如图a及图及图b所示，试问为什么它们的所示，试问为什么它们的断口形式不同？断口形式不同？43材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转直径为直径为d1 1的实心圆轴的实心圆轴ⅠⅠ( (图图a) )和内、外直径分和内、外直径分别为别为d2和和D2，，a a＝＝ d2/ D2=0.8的的空心圆轴空心圆轴ⅡⅡ( (图图b),),两两轴的长度、材料、扭矩分别相同。

试求两种圆轴在轴的长度、材料、扭矩分别相同试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，横截面上最大切应力相等的情况下，D2与与d1之比以之比以及两轴的重量比及两轴的重量比例题例题 3-244材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 分别求两轴的最大切应力分别求两轴的最大切应力例题例题 3-245材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2. 求求D2/d1和二轴重量之比和二轴重量之比由由t t1,max=t t2,max，，并将并将a a ＝＝0.8代入得代入得因为两轴的长度因为两轴的长度l 和材料密度和材料密度r r 分别相同，所分别相同，所以两轴的重量比即为其横截面面积之比以两轴的重量比即为其横截面面积之比例题例题 3-246材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 切应力的分布规律如图切应力的分布规律如图c、、d所示，当所示，当t tmax＝＝[t t]时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料分材料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率所以空心轴的重量比实心轴轻。

的利用率所以空心轴的重量比实心轴轻 但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，还要注意加上成本和构造上的要求等因素还要注意加上成本和构造上的要求等因素zmaxd1(c)t tmaxD2d2(d)例题例题 3-247材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转ⅤⅤ. 强度条件强度条件此处此处[t t]为材料的许用切应力对于等直圆轴亦即为材料的许用切应力对于等直圆轴亦即 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件切应力和许用切应力来表达强度条件48材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径d1=120 mm，，BC段段直径直径d2=100 mm扭转力偶矩扭转力偶矩MA =22 kN·m，，MB =36 kN·m，，MC =14 kN·m，，材料的许用切应力材料的许用切应力[ [t t ]=]=80 MPa。

试校核该轴的强度试校核该轴的强度例题例题 3-449材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 绘扭矩图绘扭矩图例题例题 3-4解：解：50材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转AB段内段内2. 分别求每段轴横截面上的最大切应力分别求每段轴横截面上的最大切应力例题例题 3-451材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转BC段内段内2. 求每段轴的横截面上的最大切应力求每段轴的横截面上的最大切应力例题例题 3-452材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转3. 校核强度校核强度 t t2,max >t t1,max' '且有且有t t2,max<[t t ] = 80MPa，，故故该轴满足强度条件该轴满足强度条件例题例题 3-4阶梯状圆轴，其阶梯状圆轴，其 ，必须综，必须综合考虑扭矩和合考虑扭矩和Wp两个因素，两个因素，AB段的扭矩大，直段的扭矩大，直径径d1也大，也大，BC段的扭矩小，直径也小，必须分段的扭矩小，直径也小，必须分别计算两段轴的别计算两段轴的t tmax，，经比较后才能确定经比较后才能确定t tmax。

53材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转例题例题 3-4注意：阶梯状圆轴在两段连接处有应力集注意：阶梯状圆轴在两段连接处有应力集中现象，在以上计算中对此并未考虑中现象，在以上计算中对此并未考虑54材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转作业：作业：3-1, 3-3, 3-955材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转§3-5 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形·刚度条件刚度条件Ⅰ. 扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭相对扭转角转角(相对角位移相对角位移) j j 来度量MeADB CMej jg g56材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 当等直圆杆相距当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩的两横截面之间，扭矩T及及材料的切变模量材料的切变模量G为常量时有为常量时有 由由前已前已得到的扭转角沿杆长的变化率得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称亦称单单位长度扭转角位长度扭转角)为为 可知，杆的相距可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角的两横截面之间的相对扭转角j j为为57材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 图示钢制实心圆截面轴，已知：图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 N·m，，M2 = 955 N·m，，M3 = 637 N·m，，lAB = 300 mm，，lAC = 500 mm，，d = 70 mm ，，钢的切变模量钢的切变模量G = 80 GPa。

试求横截面试求横截面C 相对于相对于B的扭转角的扭转角j jBC a)例题例题 3-558材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 用截面法求出用截面法求出I I、、IIII两段轴内的扭矩分别为两段轴内的扭矩分别为(a)例题例题 3-5解：解：59材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(a)2. 分别计算分别计算B、、C截面相对于截面相对于A截面截面的扭转的扭转j jAB、、j jAC，设，设A截面固定不动：截面固定不动：j jAB、、j jAC的转向如图的转向如图a所示例题例题 3-560材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(a)3. C截面相对于截面相对于B截面的扭转角为截面的扭转角为设设B固定不动，固定不动，j jBC的转向与的转向与M3相同例题例题 3-561材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转Ⅱ. 刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角式中的许可单位长度扭转角[j j']的常用单位是的常用单位是(°)/m此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：为：对于精密机器的轴对于精密机器的轴[j j‘]≈0.15~0.30 (°)/m；； 对于一般的传动轴对于一般的传动轴[j j']≈2 (°)/m。

°)(°)62材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比之比a a = 0.5 已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力[t t ] = 40 MPa，，切变模量切变模量G= 80 GPa轴的最大扭矩轴的最大扭矩Tmax = 9.56 kN·m，，许可单位长度扭转角许可单位长度扭转角[j j']=0.3 (°)/m试选择轴的直径试选择轴的直径例题例题 3-663材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 按强度条件求所需外直径按强度条件求所需外直径D例题例题 3-6解：解：64材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2. 按刚度条件求所需外直径按刚度条件求所需外直径D例题例题 3-665材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转3. 空心圆截面轴所需外直径为空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5 mm(由刚由刚度条件控制度条件控制)，内直径则根据，内直径则根据a a = d/D = 0.5知知例题例题 3-666材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转思考：从图思考：从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。

根据横截面上切应力沿直径所示根据横截面上切应力沿直径CD的分布规律，的分布规律，由切应力互等定理可知径向截面由切应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴的上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的切应力试问此径半径方向亦有如图所示分布的切应力试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？矩平衡的？67材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转§3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能 纯剪切应力状态纯剪切应力状态下的应变能密度下的应变能密度 对处于纯剪切应力状态的单元体对处于纯剪切应力状态的单元体(图图a)，，为计算其为计算其上的外力所作功上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力可使左侧面不动，此时的切应力t t 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力t t dydz在在相应的位移相应的位移g g dx上作功68材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转于是，当材料弹性范围内工作时于是，当材料弹性范围内工作时(t t ≤t tp，，见图见图b)，，有有69材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转由由剪切胡克定律剪切胡克定律t t =Gg g，，该应变能密度的表达式该应变能密度的表达式可写为可写为 单元体内蓄积的应变能单元体内蓄积的应变能dVe e数值上等于单元体数值上等于单元体上外力所作功上外力所作功dW，即，即dVe e=dW 。

单元体单位体积单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为度为70材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 在扭矩在扭矩T为常量时，长度为为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄的等直圆杆所蓄积的应变能为积的应变能为等直圆杆在扭转时积蓄的应变能等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由由 可知，亦可知，亦有有71材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为内蓄积的应变能为 弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，为常量，其长度为其长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：范围内的应变能亦可如下求得：72材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 图示图示AB、、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，，BC 为刚性块，为刚性块， D截面处作用有外力偶矩截面处作用有外力偶矩 Me 试试求：求：(1)杆系内的应变能；杆系内的应变能；(2)利用外力偶矩所利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭转截面的扭转角角 j jD。

ABCDMel/2l(a)例题例题 3-773材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 用截面法分别求用截面法分别求AB和和CD杆的扭矩杆的扭矩T1和和T2T2=MeD MeT1=- -MeBCD Me(b)例题例题 3-7ABCDMel/2l(a)解解:74材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2. 杆系应变能为杆系应变能为T2=MeD MeT1=- -MeBCD Me(b)例题例题 3-775材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转其转向与其转向与Me 相同3. 求求D 截面的扭转角截面的扭转角 j jDABCDMel/2l(a)例题例题 3-776材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 试推导密圈圆柱螺旋弹簧试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角螺旋线升角a a < 5°)受轴向压力受轴向压力(拉力拉力)F 作用时，簧杆横截面作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短上应力和弹簧缩短(伸长伸长)变形变形的近似计算公式已知：簧圈的近似计算公式已知：簧圈平均半径平均半径R，，簧杆直径簧杆直径d，，弹簧弹簧的有效圈数的有效圈数n，，簧杆材料的切变簧杆材料的切变模量模量G。

设设d<<(2R)例题例题 3-877材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 用截面法用截面法求簧杆横截面上的内力求簧杆横截面上的内力 对于密圈螺旋弹簧可近对于密圈螺旋弹簧可近似认为似认为a a≈0o，，簧杆的横截面簧杆的横截面就在外力就在外力F作用的作用的弹簧轴线弹簧轴线所在纵向平面内，由图所在纵向平面内，由图b所示所示的分离体的平衡方程得的分离体的平衡方程得剪力剪力 FS =F扭矩扭矩 T =FR(b)例题例题 3-8解：解：78材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2. 求簧杆横截面上的应力求簧杆横截面上的应力 簧杆横截面上与剪力簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于相应的切应力通常远小于与扭矩与扭矩T 相应的切应力，故在求近似解时将前者略相应的切应力，故在求近似解时将前者略去因为d<<(2R)，，故在求簧杆横截面上扭转切应力故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算于是时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算于是有有例题例题 3-879材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转3. 求弹簧的缩短求弹簧的缩短(伸长伸长)变形变形D D 当弹簧所受外力当弹簧所受外力F不超过不超过一定限度时一定限度时变形变形D D与外力与外力F成成线性关系线性关系(如图如图c)。

于是外力于是外力所作的功为所作的功为(c)例题例题 3-880材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 不计不计FS的影响，并忽略簧杆的曲率，的影响，并忽略簧杆的曲率，簧杆内的应簧杆内的应变能变能Ve e为为式中式中l =2p pRn，，表示簧杆轴线的全长，表示簧杆轴线的全长，Ip为簧杆横截为簧杆横截面的极惯性矩面的极惯性矩根据能量守恒原理根据能量守恒原理 W= Ve ，，即即如令如令 ，则有，则有 ，式中，式中k 为弹簧的为弹簧的刚度系数刚度系数(N/m)例题例题 3-881材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 以上分析中，不计产生的切应力和应变能，并以上分析中，不计产生的切应力和应变能，并用直杆公式计算扭转切应力和应变能，由此得到用直杆公式计算扭转切应力和应变能，由此得到的的 和和 均比实际值偏小均比实际值偏小例题例题 3-882材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转§3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形等直非圆杆自由扭转时的应力和变形Ⅰ. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点等直非圆形截面杆扭转时的变形特点 横截面不再保持为平面而横截面不再保持为平面而发生翘曲。

平面假设不再成立发生翘曲平面假设不再成立 自由扭转自由扭转(纯扭转纯扭转)——等等直杆，两端受外力偶作用，端直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲由于各横截面面可自由翘曲由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力上只有切应力而无正应力83材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 约束扭转约束扭转——非等直杆，或非两端受外力偶作非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲由于各横截面的翘曲用，或端面不能自由翘曲由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力84材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转Ⅱ. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解一般矩形截面等直杆一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆85材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(1) 一般矩形截面等直杆一般矩形截面等直杆横截面上的最大切应力在长边中点横截面上的最大切应力在长边中点处：处：Wt——扭转截面系数扭转截面系数，，Wt=b bb3，，b b 为与为与m=h/b相关的因数相关的因数(表表3-1)。

横截面上短边中点处的切应力：横截面上短边中点处的切应力： t t =ntntmaxn n 为与为与m=h/b相关的因数相关的因数(表表3-1)单位长度扭转角：单位长度扭转角： It——相当极惯性矩相当极惯性矩，， , a a 为与为与m = h/b 相关的因数相关的因数(表表3-1)86材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转表表3-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数矩形截面杆在自由扭转时的因数a a、、b b 和和 n nm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0a a b bn n0.1400.2081.0000.1990.263__0.2940.3460.8580.4570.4930.7960.6220.645__0.7900.8010.7531.1231.1500.7451.7891.7890.7432.4562.4560.7433.1233.1230.74387材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(2) 狭长矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆88材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 思考：如图中所示，矩形截面杆在扭转时其横思考：如图中所示，矩形截面杆在扭转时其横截面上边缘处的切应力总是与周边相切，而横截面截面上边缘处的切应力总是与周边相切，而横截面顶点处的切应力总是等于零。

为什么？顶点处的切应力总是等于零为什么？一般矩形截面等直杆一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆89材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转*§3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力和变形时的应力和变形Ⅰ. 开口薄壁截面杆开口薄壁截面杆(例如角钢、工字钢和槽钢例如角钢、工字钢和槽钢)90材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 2. 不考虑横截面相邻组成部分不考虑横截面相邻组成部分(矩形矩形)在连接在连接处的复杂应力变化情况，认为横截面每一矩形部分处的复杂应力变化情况，认为横截面每一矩形部分的切应力分布仍与狭长矩形截面等直杆横截面上相的切应力分布仍与狭长矩形截面等直杆横截面上相同，即同，即近似假设：近似假设： 1. 认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分的单位长度扭转角的单位长度扭转角j ji '相同，且就是杆的单位长度相同，且就是杆的单位长度扭转角扭转角j j'，即，即91材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(1) 应力及变形的计算公式应力及变形的计算公式由由假设假设(1)有有将上式中的前将上式中的前n 项的分子分母各自相加后有项的分子分母各自相加后有式中，式中，T 为杆的整个横截面上的扭矩，为杆的整个横截面上的扭矩，It 为整个为整个横截面的相当极惯性矩。

横截面的相当极惯性矩92材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 根据假设根据假设2并注意到并注意到 可知杆的每一组成可知杆的每一组成部分横截面上位于长边中点处的最大切应力为部分横截面上位于长边中点处的最大切应力为(2) 各组成部分横截面上的最大切应力各组成部分横截面上的最大切应力 t tmax 而整个杆的横截面上的最大切应力而整个杆的横截面上的最大切应力t tmax在厚度最在厚度最大大(d dmax)的那个矩形的长边中点处：的那个矩形的长边中点处：93材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(3) 杆的单位长度扭转角杆的单位长度扭转角根据实验结果有：根据实验结果有： 角钢截面角钢截面h =1.00,槽钢截面槽钢截面h =1.12,T形钢截面形钢截面h =1.15，，工字钢截面工字钢截面h =1.20式中，式中， 对于型钢，由于其横截面对于型钢，由于其横截面的翼缘部分是变厚度的，且横截面边缘处以及内的翼缘部分是变厚度的，且横截面边缘处以及内部连接处有圆角，增加了杆的刚度，故在计算扭部连接处有圆角，增加了杆的刚度，故在计算扭转角时应采用乘以修正因数转角时应采用乘以修正因数h后的相当极惯性矩后的相当极惯性矩It ：：94材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 钢制有纵向切缝的开口环形薄壁截面杆，如图所钢制有纵向切缝的开口环形薄壁截面杆，如图所示。

已知：作用于杆两端的扭转力偶矩为示已知：作用于杆两端的扭转力偶矩为Me= 30 N·m，，平均直径平均直径d0= 40 mm，，壁厚壁厚d d = 2 mm；；钢的切变模钢的切变模量量G=80 ×109Pa试计算：试计算： (1)该开口环形截面杆横该开口环形截面杆横截面上的最大切应力和杆的单截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角；位长度扭转角； (2)若该杆无纵向切缝，若该杆无纵向切缝，求横截面上的最大切应力和杆求横截面上的最大切应力和杆的单位长度扭转角的单位长度扭转角例题例题 3-995材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转1. 求纵向切缝的开口环形薄壁截面杆的求纵向切缝的开口环形薄壁截面杆的t tmax和和j j' 计算中可将开口环形薄壁截面展开为计算中可将开口环形薄壁截面展开为h=p pd0，，d d=d d 狭长矩形截面来处理狭长矩形截面来处理例题例题 3-9解：解：96材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转例题例题 3-997材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 横截面上切应力沿厚横截面上切应力沿厚度的按规律变化其指向如度的按规律变化其指向如图图b所示。

所示例题例题 3-998材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2. 求求无纵向切缝的薄壁圆筒杆的无纵向切缝的薄壁圆筒杆的t tmax和和j j'例题例题 3-999材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 横截面上切应力沿厚度均匀横截面上切应力沿厚度均匀分布，其指向如图所示分布，其指向如图所示例题例题 3-9 可见，薄壁圆环截面杆若有一纵向切缝，其可见，薄壁圆环截面杆若有一纵向切缝，其切应力和单位长度的扭转角显著增加，亦即其强切应力和单位长度的扭转角显著增加，亦即其强度和刚度显著降低工程中多采用加横隔板提高度和刚度显著降低工程中多采用加横隔板提高开口薄壁截面杆的强度和刚度开口薄壁截面杆的强度和刚度100材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 近似假设：横截面上近似假设：横截面上各点处的切应力的大小各点处的切应力的大小沿壁厚无变化，切应力沿壁厚无变化，切应力的方向与壁厚中线相切的方向与壁厚中线相切Ⅱ. 闭口薄壁截面杆闭口薄壁截面杆(任意闭口截面的变厚度薄壁等直任意闭口截面的变厚度薄壁等直杆件杆件)101材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(1) 应力的计算公式应力的计算公式 由相距由相距dx的两横截面及任意两个与壁厚中线正的两横截面及任意两个与壁厚中线正交的纵截面取出如图所示的分离体。

如果横截面上交的纵截面取出如图所示的分离体如果横截面上C 和和D两点两点处的切处的切应力分别为应力分别为t t1和和t t2，，则根据切应力则根据切应力互等定理，上下两纵截面上亦有切应力互等定理，上下两纵截面上亦有切应力t t1和和t t2102材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 若若C 和和D 两点处的壁厚分别为两点处的壁厚分别为d d1和和d d2，则由该，则由该分分离体的平衡条件离体的平衡条件 S SFx=0 有有 t t1d d1d x=t t2d d2d x 从而知从而知亦即横截面上沿周边任一点处亦即横截面上沿周边任一点处tdtd 为常量103材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转从而有从而有(参见图参见图)：：于是得闭口薄壁截面等直杆横截面上任一点处切于是得闭口薄壁截面等直杆横截面上任一点处切应力的计算公式：应力的计算公式： 薄壁圆筒作为这类薄壁杆件的特例，当然也适薄壁圆筒作为这类薄壁杆件的特例，当然也适用此公式事实上此式即是用此公式事实上此式即是§3-2中导出的公式中导出的公式式中，式中，A0为壁厚中线所围的面积。

为壁厚中线所围的面积104材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 闭口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力闭口薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力t tmax在最小壁厚在最小壁厚d dmin处：处： 值得注意的是，开口值得注意的是，开口薄壁截面等直杆横截面上薄壁截面等直杆横截面上的最大切应力的最大切应力t tmax是在壁是在壁厚最大的组成部分的长边厚最大的组成部分的长边中点处105材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转(2) 杆的杆的单位长度扭转角的计算公式单位长度扭转角的计算公式杆内任一点处的应变能密度：杆内任一点处的应变能密度：单位长度杆内的应变能：单位长度杆内的应变能：当当壁厚壁厚d d为常数时有为常数时有单位长度杆两端截面上的扭矩作的功：单位长度杆两端截面上的扭矩作的功：于是，根据于是，根据Ve e=W 得单位长度扭转角的计算公式：得单位长度扭转角的计算公式：106材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转 一环形薄壁截面杆一环形薄壁截面杆(图图a)和一正方的箱形薄壁截和一正方的箱形薄壁截面杆面杆(图图b)，，两杆的材料相同，长度两杆的材料相同，长度l、、 横截面面积、横截面面积、壁厚壁厚d d分别分别相等相等，，作用在杆端的扭转力偶矩也相同作用在杆端的扭转力偶矩也相同。

试求两杆横截面上切应力之比试求两杆横截面上切应力之比t t1/t t2和两杆单位长度和两杆单位长度扭转角之比扭转角之比j j1'/j j2'例题例题 3-10107材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转两杆的横截面面积分别为两杆的横截面面积分别为A1=2p pr0d d，， A2=4bd d由由A1=A2 ，即，即2p pr0d d =4bd d ，，得得1. 由由 和和 可见，要求环形和可见，要求环形和正方的箱形截面杆的正方的箱形截面杆的t t1/t t2和和j j1'/j j2' ，，必须首先求必须首先求出两杆壁厚中线所围成的面积出两杆壁厚中线所围成的面积A01和和A02的关系例题例题 3-10解：解：108材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转2. 求求例题例题 3-103. 求求 式中，式中，4b=2p pr0，，s1和和s2分别为环形和正方的箱形截分别为环形和正方的箱形截面的壁厚中线的长度面的壁厚中线的长度 由以上结果可知，在题中规定条件下，环形由以上结果可知，在题中规定条件下，环形截面杆的抗扭性能比正方的箱形截面杆要好。

截面杆的抗扭性能比正方的箱形截面杆要好109材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转作业：作业：3-12，，3-16，，3-19，，3-23110材料力学材料力学(Ⅰ)电子教案电子教案扭扭 转转111。