2018大二轮高考总复习文数文档：自检3 平面向量 .pdf

自检 03：平面向量 A 组组 高考真题集中训练高考真题集中训练 平面向量的线性运算 1．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a||b| 解析：方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b.故选 A． 方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在□ABCD 中，设＝a，＝b， AB → AD → 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||， AC → DB → 从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB⊥AD，故 a⊥b.故选 A． 答案：A 2．(2015·全国卷Ⅰ)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( ) AC → BC → A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选 A． AB → BC → AC → AB → 答案：A 3．(2014·全国卷Ⅰ)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则＋ EB → ＝( ) FC → A． B． AD → 1 2AD → C． D． BC → 1 2BC → 解析：＋＝ (＋)＋ (＋)＝ (＋)＝，故选 A． EB → FC → 1 2 AB → CB → 1 2 AC → BC → 1 2 AB → AC → AD → 答案：A 4．(2016·全国甲卷)已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 平面向量的数量积及应用 1．(2016·全国丙卷)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( ) BA → ( 1 2， 3 2) BC → ( 3 2 ，1 2) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：因为＝，＝， BA → ( 1 2， 3 2) BC → ( 3 2 ，1 2) 所以·＝＋＝. BA → BC → 3 4 3 4 3 2 又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝， BA → BC → BA → BC → 3 2 所以 cos∠ABC＝.又 0°≤∠ABC≤180°， 3 2 所以∠ABC＝30°. 答案：A 2．(2015·全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选 C． 答案：C 3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则 a·b＝( ) 106 A．1 B．2 C．3 D．5 解析：因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝10， 10 即 a2＋2a·b＋b2＝10.①又因为|a－b|＝， 6 所以|a－b|2＝6， 即 a2－2a·b＋b2＝6.② 由①－②得 4a·b＝4，则 a·b＝1. 答案：A 4．(2017·山东卷)已知向量 a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若 a∥b，则 λ＝________. 解析：∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得 λ＝－3. 答案：－3 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且 a⊥b，则 m＝________. 解析：∵a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且 a⊥b， ∴a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得 m＝2. 答案：2 6．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直，则 m＝________. 解析：∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又 a＋b 与 a 垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得 m＝7. 答案：77.(2016·全国乙卷)设向量 a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且 a⊥b，则 x＝________. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即 x＋2(x＋1)＝0， ∴x＝－ . 2 3 答案：－ 2 3 8．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点， 则·＝________. AE → BD → 解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那 AB → AD → BD → AD → AB → AE → AD → 1 2AB → 么·＝(＋)·(－)＝ 2－ ·－ 2＝2. AE → BD → AD → 1 2AB → AD → AB → AD → 1 2AD → AB → 1 2AB → 答案：2 9．(2017·北京卷)已知点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，点 A 的坐标为(－2,0)，O 为原点， 则·的最大值为________． AO → AP → 解析：方法一 根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)． 由点 P 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 Q，则点 Q 的坐标为(x,0)． ·＝||||cos θ， AO → AP → AO → AP → ||＝2，||＝， AO → AP → x＋22＋y2 cos θ＝＝， AQ AP x＋2 x＋22＋y2 所以·＝2(x＋2)＝2x＋4. AO → AP → 点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，所以 x∈[－1,1]． 所以·的最大值为 2＋4＝6. AO → AP → 方法二 如图所示，因为点 P 在圆 x2＋y2＝1 上， 所以可设 P(cos α，sin α)(0≤α＝； 2π 3 ∴a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2|a|2－ |a||b|＝0； 1 2 又|a|≠0，|b|≠0；∴2|a|＝ |b|，∴＝ . 1 2 |a| |b| 1 4 故选 B． 答案：B 10．(2017·湖南十三校联考)已知正△ABC 内接于半径为 2 的圆 O，点 P 是圆 O 上的一 个动点，则·的取值范围是( ) PA → PB → A．[0,6] B．[－2,6] C．[0,2] D．[－2,2] 解析：以△ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示： 设 A(2,0)，B(－1，)，P(2cos θ，2sin θ)，则＝(2cos θ－2,2sin θ)，＝(2cos 3 PA → PB → θ＋1,2sin θ－)； 3 ∴·＝(2cos θ－2)(2cos θ＋1)＋2sin θ(2sin θ－)＝2－2cos θ－2sin θ＝2－4sin PA → PB → 33 ； (θ＋ π 6) ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴－2≤·≤6， π 6 PA → PB → 则·的取值范围是[－2,6]．故选 B． PA → PB → 答案：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．共 20 分． 11．(2016·山东高考)已知向量 a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若 a⊥(ta＋b)，则实数 t 的 值为________． 解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)， ∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又 a⊥(ta＋b)，则 a·(ta＋b)＝0， 即 t＋6＋t＋4＝0，解得 t＝－5. 答案：－5 12．(2017·河南六市一模)已知向量 a＝(1，x)，b＝(1，x－1)，若(a－2b)⊥a，则 |a－2b|＝________. 解析：∵a－2b＝(－1,2－x)，且(a－2b)⊥a， ∴(a－2b)·a＝－1＋x(2－x)＝－x2＋2x－1＝0，∴x＝1，∴a－2b＝(－1,1)，∴|a－2b|＝ . 2 答案： 2 13．设点 P 是△ABC 所在平面内一点，且＋＝2，则＋＝________. BC → BA → BP → PC → PA → 解析：因为＋＝2，所以点 P 为线段 AC 的中点，如图，即＋＝0. BC → BA → BP → PC → PA → 答案：0 14．(2017·上饶一模)已知在 Rt△AOB 中，AO＝1，BO＝2，如图，动点 P 是在以 O 点 为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC＝90°；设＝x＋y，则 x＋y 的 OP → OA → OB → 取值范围________． 解析：以 OA 所在直线为 x 轴，以 OB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所 示， 则 A(1,0)，B(0,2)，∴＝x＋y＝(x,0)＋(0,2y)＝(x,2y)， OP → OA → OB → 则 x，y 满足条件Error!Error!，作出可行域如图所示， 令 z＝x＋y，化目标函数为 y＝－x＋z，由图可知，当直线 y＝－x＋z 过点(0,1)时，直 线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值 1；当直线 y＝－x＋z 过点(－2,0)时，直线在 y 轴上的 截距最小，z 有最小值－2；则 x＋y 的取值范围是[－2,1]． 答案：[－2,1] 。