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课题1 有关三角形的证明数学 九年级/上 单元一目录CONTENTS全等三角形等腰三角形等边三角形反证法含30°直角三角形创新思考：辅助线课题总结361314172021复习：全等三角形 如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ B ）提示：两边及夹角对应相等的两个三角形全等（提示：两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS））（2011江西）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（D）A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝DCC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC 下列判断中错误的是（B）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 提示：提示：三条边对应相等的两个三角形全等三条边对应相等的两个三角形全等；； 两边及夹角对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等；； 两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等。

复习：全等三角形的性质 若△ABC≌△DEF，则有： AB= DE ,BC= EF ,AC= DF ; ∠A= ∠D ,∠B= ∠E ,∠C= ∠F.性质：全等三角形的对应边性质：全等三角形的对应边相等相等、对应角、对应角相等相等.典例分析 两边及夹角对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等￿两角及夹边对应相等的两个三角形全等两角及夹边对应相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的对应边相等、对应角相等SASASAAAS性质性质SSS三条边对应相等三条边对应相等的的两两个个三角形全等三角形全等345三角形全等的判定等腰三角形的性质定理的推论（1） 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠CABC 归纳：等腰三角形的两个底角归纳：等腰三角形的两个底角相等相等等腰三角形的性质定理的推论（2） 在△ABC中，AD还具有怎样的性质？ BD=DC ∠ADB=∠ADC∠ADB+∠ADC=180°∠ADB=∠ADC=90°∠BAD=∠CAD△ABD≌△ACD归纳：归纳： “三线合一三线合一”等腰三角形等腰三角形底边上的底边上的中线中线、、底边上的底边上的高高、、顶角的平分线顶角的平分线互相重合互相重合。

随堂练习如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=CD.(1) 求证:△ABD是等腰三角形；(2) 求∠ABD的度数证明（1）∵ AC⊥BD，AC=BC=CD ∴ ∠ACB=∠ACD=90° ∴ △ACB≌△ACD∴ AB=AD ∴ △ABD是等腰三角形解（2）∵ AC⊥BD，AC=BC=CD ∴ △ACB、△ACD都是等腰直角三角形 ∴ ∠B=∠ D=45°∴ ∠ BAD=90° （2011铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（C）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形提示：依据等腰三角形的有关性质提示：依据等腰三角形的有关性质 如图所示，是用两个形状大小完全相同的一个角为30°的直角三角形拼成的，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数为（C）A． 1个 B． 2个C． 3个 D． 4个等腰三角形其他性质的证明已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.求证:BD=CE.证明证明:∵AB=AC(:∵AB=AC(已知已知),),∴∠ABC=∠ACB(∴∠ABC=∠ACB(等边对等角等边对等角).).又又∵∠∵∠1= ∠ABC,∠2=1= ∠ABC,∠2=　　∠∠ACB(ACB(已知已知),),∴∠1=∠2(∴∠1=∠2(等式性质等式性质).).在在△△BDCBDC与与△△CEBCEB中中∵∠∵∠DCB=∠ EBCDCB=∠ EBC（（已知）已知）, , 　　 BC=CBBC=CB（（公共边）公共边）, ,　　∠∠1=∠21=∠2（（已证）已证）, ,∴△BDC≌△CEB∴△BDC≌△CEB（（ASAASA））. .∴BD=CE(∴BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )12探究：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他结论吗？ 通过几何语言尝试证明你的结论。

等腰三角形等腰三角形的性质定理的推论（3） 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C； 求证：AB=AC.提示：构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边 归纳：有两个角相等的三角形是归纳：有两个角相等的三角形是等腰三角形等腰三角形小结：等腰三角形性质及其推论等腰三角形的两个底角相等有两个角相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的“三线合一”等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的高相等等边对等角等角对等边等边三角形归纳：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°定理：三边都相等的三角形是等边三角形；定理：三边都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于有一个角等于6060°°的等腰三角形是等边三角形；的等腰三角形是等边三角形； 三个角都等于三个角都等于6060°°的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形已知：△ABC中，AB=BC=AC.求证：求证：∠A=∠B=∠C=60∠A=∠B=∠C=60°°ABC反证法 在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这个角也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠A≠∠C. 假设∠A=∠C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件是AB≠AC相矛盾。

因此假设不成立,原命题成立，即∠A≠∠C.反证法 在证明上题时，先假设命题的结论反面成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立 这种证明方法称为反证法 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.随堂练习如何证明这个结论:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.用用反反证法法来来证明明:证明明:假假设这五个数五个数全部全部小于小于1/5,那么那么这五个数的和五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于就小于1.这与与已知已知这五个数的和五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾相矛盾.因此因此假假设不成立不成立, 原命原命题成立成立,即即这五个数中至少有下个大于或等于五个数中至少有下个大于或等于1/5.含30°角的直角三角形的性质定理操作操作: :用两个含有用两个含有30300 0角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？300300能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. .由此你想到，由此你想到，在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？证明你的结论。

证明你的结论结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.含30°角的直角三角形性质定理的证明定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一个锐角等于如果一个锐角等于3030°°，那么它，那么它所对所对的直角边等于斜边的一半的直角边等于斜边的一半. .已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°求证:BC= AB.ACBD提示：延长BC至D,使CD=BC,连接AD线段的倍、分→线段相等解题步骤证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD∵ ∠ACB=90°, (已知),∴∠ACD=90°(平角意义)在△ABC与△ADC中∵BC=DC（作图）∠ACB=∠ACD（已证）AC=AC（公共边）∴△ABC≌△ADC（SAS）∴ AD=AB∵∠ACB=90°,∠A=30°(已知),∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)∴BC= BD= AB(等式性质).随堂练习创新思考 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图1所示，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE. 求证：AB＝CD.分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等. 因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.现给出如下三种添加辅助线的方法，如图2所示. 请任意选择其中一种，对原题进行证明.课题总结全等三角形的判定等腰（等边）三角形三角形的证明含30°直角三角形性质及证明特殊三角形的判定反证法的认识及应用辅助线的做法谢谢!。