概率统计第3章答案.doc

第三章 作业一1. 将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY01231003002. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律XY01230001020解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为P {X=0, Y=2 }=P {X=1, Y=1 }=P {X=1, Y=2 }=P {X=2, Y=0 }=P {X=2, Y=1 }=P {X=2, Y=2 }=P {X=3, Y=0 }=P {X=3, Y=1 }=P {X=3, Y=2 }=03. 设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常数A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定义，有 (3) 4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.题6图【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为而所以 (2) 第三章 作业二1. 袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1） 求X与Y的联合概率分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1） X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2) 因故X与Y不独立2. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度. 【解】（1） 得.(2) 3. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=（1）求X和Y的联合概率密度；（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1） 因 故 题14图(2) 方程有实根的条件是故 X2≥Y，从而方程有实根的概率为： 4. 设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 题11图【解】 所以 第三章 作业三1. 设随机变量（X，Y）的分布律为XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05（1） 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1） （2） 所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.052. 设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n. 方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.3. 雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；（2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为（1） (2) 4. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），从而 。