2016新课标三维人教B版数学必修42.4向量的应用.doc

　2．4.1 & 2.4.2　向量在几何中的应用　向量在物理上的应用预习课本P117～122，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？(2)如何用向量方法解决物理问题？(3)如何判断多边形的形状？　　　　1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在解析几何中的应用设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)．若向量a平行于直线l，则k＝tan α＝；若直线的斜率为k＝，则向量a平行于直线l.3．向量在物理中的应用(1)力向量．力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．(2)速度向量．一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．1．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)A．(0,5)　　　　　　　　　 　B．(4，－1)C．2 D．5答案：D2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)A．直角梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案：C3．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________．答案：－114．经过点A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,2)的直线方程是________．答案：2x－3y＋8＝0向量在平面几何中的应用题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.证明：法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.题点二：平面几何中的平行(或共线)问题2.如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．证明：设＝m，＝n，由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.∴＝.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．题点三：平面几何中的长度问题3.如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，而||＝|a－b|＝＝＝＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝.用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在解析几何中的应用[典例]　已知A(－1,2)，直线l：4x－3y＋9＝0.求：(1)过点A且与直线l平行的直线方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线方程．[解]　直线l的斜率k＝，向量u＝与直线l平行．(1)设P是过点A且与l平行的直线上的一动点，P的坐标是(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，当且仅当u∥，即1×(y－2)－×(x＋1)＝0时，所求直线与直线l平行．整理得4x－3y＋10＝0，这就是所求的过点A且与直线l平行的直线方程．(2)设Q(x，y)为一动点，则＝(x＋1，y－2)，设点Q在过点A且垂直于l的直线上，则u·＝0，即1×(x＋1)＋×(y－2)＝0，整理得3x＋4y－5＝0，这就是所求的过点A且与直线l垂直的直线方程．利用方向向量及法向量求直线方程的关键(1)关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系．(2)常用结论如下：①所求直线与已知直线平行，则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直．②所求直线与已知直线垂直，则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行．　　　　 [活学活用]过点P(6，)的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，若＝，求直线l的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)，则＝(6－a，)，＝(－6，b－)，由＝，得所以从而直线l的斜率为k＝－，所以直线l的方程是y－＝－(x－6)，即x＋3y－9＝0.向量在物理中的应用[典例]　(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．[解]　(1)如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．[一题多变]1．[变设问]本例(2)条件不变，求F1，F2的合力F为质点所做的功．解：W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求：F1，F2分别对该质点做的功．解：＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1做的功W1＝F1·s＝F1·＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)．F2做的功W2＝F2·s＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)．　　用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一　学业水平达标1．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　)A．(－1，－2)　　　　　　 　B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析：选D　由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　)A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.解析：选B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．3．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是(　　)A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形解析：选A　∵＝，＝(3,4)，∴＝，∴∥，即AB∥DC.又||＝ ＝，||＝＝5，∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则的长为(　　)A．1 B．2C．3 D．4解析：选B　∵＝－＝－，∴＝2＝－·＋，即＝1.∴||＝2，即AC＝2.5．已知△ABC满足＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形解析：选C　由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则P点的轨迹方程为________．解析：由题意知，·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，故P点的轨迹方程为x＋2y＝4.答案：x＋2y＝47．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：108．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.答案：－9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.证明：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.所以＝，＝.所以·＝－a·a＋·a＝0，所以⊥，即AD⊥CE.10．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．解：(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.又＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF的方程为x＋5y＋8＝0，直线FD的方程为x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，则⊥.∴·＝0.又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．层级二　应试能力达标1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)A．10 m/s　　　　　　　 　B．2 m/sC．4 m/s D．12 m/s解析：选B　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为(　　)A．－ B.C．－ D.解析：选C　因为＝，所以点D是BC的中点，则＝(＋)，＝＝(－)，所以·＝(＋)·(－)＝(－)＝(22－32)＝－，选C.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是(　　)A. B．2C．0 D．1解析：选A　∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.4.如图，设P为△ABC内一。