好文档就是一把金锄头!
欢迎来到金锄头文库![会员中心]
电子文档交易市场
安卓APP | ios版本
电子文档交易市场
安卓APP | ios版本

构造法证明不等式(一).doc

6页
  • 卖家[上传人]:壹****1
  • 文档编号:400500621
  • 上传时间:2023-08-17
  • 文档格式:DOC
  • 文档大小:724.50KB
  • / 6 举报 版权申诉 马上下载
  • 文本预览
  • 下载提示
  • 常见问题
    • 构造法证明不等式(一)1、运用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一种难点,也是近几年高考的热点.2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为运用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的构造特性构造一种可导函数是用导数证明不等式的核心.一、移项法构造函数【例1】已知函数,求证:当时,恒有.【分析】 本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数,从其导数入手即可证明.【解析】 由题意得:,∴当时,,即在上为增函数;当时,,即在上为减函数;故函数的单调递增区间为,单调递减区间;于是函数在上的最大值为,因此,当时,,即,∴(右面得证). 现证左面,令,,当时,;当时,,即在上为减函数,在上为增函数,故函数在上的最小值为,∴当时,,即,∴.综上可知:当时,有.【点评】如果是函数在区间上的最大(小)值,则有(或),那么要证不等式,只规定函数的最大值不超过0就可得证.2、作差法构造函数证明【例2】已知函数,求证:在区间上,函数的图象在函数的图象的下方.【分析】 函数的图象在函数的图象的下方不等式在上恒成立问题,即,只需证明在区间上,恒有成立,设,,考虑到,要证不等式转化变为:当时,,这只要证明:在区间是增函数即可.【解析】 设,即,则;当时,,从而在上为增函数,∴,∴当时,,即,故在区间上,函数的图象在函数的图象的下方.【点评】本题一方面根据题意构造出一种函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并运用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式.读者也可以设做一做,深刻体会其中的思想措施.3、换元法构造函数证明【例3】(山东卷)证明:对任意的正整数,不等式都成立.【分析】 本题是山东卷的第(2)问,从所证构造出发,只需令,则问题转化为:当时,恒有成立,现构造函数,求导即可达到证明.【解析】 令,则在上恒正,∴函数在上单调递增,∴时,恒有,即,∴,对任意正整数,取,则有.【点评】我们懂得,当在上单调递增,则时,有.如果=,要证明当时,,那么,只要令=-,就可以运用的单调增性来推导.也就是说,在可导的前提下,只要证明0即可.4、从条件特性入手构造函数证明【例4】若函数在上可导,且满足不等式恒成立,常数、满足,求证:.【解析】 由已知:,∴构造函数,则,从而在上为增函数,∵,∴,即.【点评】由条件移项后,容易想到是一种积的导数,从而可以构造函数,求导即可完毕证明.若题目中的条件改为,则移项后,要想到是一种商的导数的分子,平时解题多注意总结.5、主元法构造函数【例5】已知函数,.(1)求函数的最大值;(2)设,证明:.【分析】 对于第(2)小问,绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也重要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系,想一想大小关系又与函数的单调性密切有关,由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数,运用导数研究函数的单调性,借助单调性比较函数值的大小,以期达到证明不等式的目的.【解析】(1)过程略;(2)对求导,则.在中觉得主变元构造函数,设,则.当时,,因此在内为减函数;当时,,因此在上为增函数.从而当时,有极小值,∵,,∴,即.又设,则;当时,.因此在上为减函数,∵,,∴,即.6、构造二阶导函数证明函数的单调性(二次求导)【例6】已知函数.(1)若在上为增函数,求的取值范畴;(2)若,求证:当时,.【解析】(1),∵在上为增函数,∴对恒成立,即对恒成立;记,则;当时,;当时,.知在上为增函数,在上为减函数,∴在时,获得最大值,即,∴,即的取值范畴是.(2)记(),则,令,则;当时,,∴在上为增函数,又在处持续,∴,即,∴在上为增函数,又在处持续,∴,即.【点评】当函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立,从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题.不等式恒成立问题,一般都会波及到求参数范畴,往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立,于是不小于的最大值(或不不小于的最小值),从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.因此,运用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要措施.7、对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式)【例7】证明:当时,.【解析】 对不等式两边取对数得,化简为,设辅助函数(),,又(),易知在上严格单调增长,从而(),又由在上持续,且,得在上严格单调增长,∴(),即,,故().8、构造形似函数【例8】证明:当,证明.【分析】 此题目具有幂指数形式,对不等式两边分别取对数得,整顿为,在此基本上根据“形似”构造辅助函数,再根据函数的单调性证明之.【解析】 不等式两边分别取对数得,可化为.令,显然在内持续并可导,(),故在内严格单调递减,由得:,∴,即,故.【例9】已知、都是正整数,且,证明:.【解析】 原不等式等价于,令(),则,即在上严格递减,∴,即成立.。

      点击阅读更多内容
      关于金锄头网 - 版权申诉 - 免责声明 - 诚邀英才 - 联系我们
      手机版 | 川公网安备 51140202000112号 | 经营许可证(蜀ICP备13022795号)
      ©2008-2016 by Sichuan Goldhoe Inc. All Rights Reserved.