2023年全国初中数学竞赛试题.doc

2023年全国初中数学竞赛试题一、选择题:1、已知实数a≠b，且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2 则b +a 的值为（ ）A、23; B、-23; C-2; D-132、若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（ ）A、ab=h ; B、+= ; C、+= ; D、a2 +b2=2h23、一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）A、只有a; B、只有b; C、只有c; D、只有a和b4、如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S=（ ）A、6; B、8; C、10; D、125、假如x和y是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x3=0，那么x+y等于（ ）A、3; B、; C、; D、4-二、填空题:6、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=600，则∠EDC=_____________（度）。

7、据有关资料记录，两个城市之间天天的通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间天天的通话次数为t，那么B、C两个城市间天天的次数为 次（用t表达）8、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)= 9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=900，BC=CD=12，∠ABE=45，若AE=10，则CE的长度为 10、实数x、y、z满足x+y+z=5 ，xy+yz+zx=3 ，则z的最大值是 .三、解答题:11、通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的爱好激增，中间有一端时间，学生的爱好保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表达学生注意力越集中）当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。

1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题，需讲解24分钟，问老师能否通过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于3612、已知a、b是实数 ，关于x、y的方程组 有整数解 ，求a、b满足的关系式13、D是△ABC的边AB上的一点 ， 使得AB=3AD ， P是△ABC外接圆上一点 ， 使得 ∠ADP=∠ACB，求的值14、已知a＜0 , b≤0 ,c＞0 , 且 =b-2ac , 求b2-4ac的最小值数学奥林匹克竞赛题：例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点这n条直线可以把平面分割成多少个部分？    此问题的变例（即特殊情况）：    变例1：十刀最多可以把一张饼提成多少块？    变例2：一个圆形纸片，切100刀，最多可以将它分割为多少块？    对变例2 ，我们一方面猜测其结论：    令S1，S2，……，Sn分别表达将圆形纸片切一刀，二刀，……，n刀所得块数，则有    S1 =2=1+1    S2 =4=1+1+2    S3 =7=1+1+2+3    S4 =11=1+1+2+3+4    ……    Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+(n+1)·n    ∴当n=100时，有S100=1+（100+1）·100=5051（块）解：设bn表达一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数，则有bn=n+1.    设an-1 为平面被符合条件的n-1条直线分割成的部分数，则当平面上插入符合条件的第n条直线时，前 n-1条直线与第n 条直线相交于n-1个不同的点，这n-1个点分第n条直线为bn-1段，而每一分段恰分平面上一个已存在的部分为两个部分，于是，有：    an =an-1 +bn-1 （n＞1，n∈N）    又： bn-1=n    ∴ an=an-1+n=an-2+ ( n-1)+ n =……        =n+( n-1)+( n-2)+……+2+a1     又：a1=2=1+1    ∴an=n+( n-1)+( n-2 )+ ……+2+1+1    例2. 有10级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？解：考虑更一般的情况：在同样条件下走n级台阶，情况如何？    设an为上n级台阶的所有不同的走法数目。

若第一次走一级，则余下的n-1级有an-1 种走法；若第一次走两级，则余下的 n-2 级有an-2 种走法    ∴ an=an-1 +an-2 (n＞2，n∈N)    显然a1=1，a2=2    ∴a3=a1+a2=3       a4=a3+a2=5       a5=a4+a3=8       a6=a5+a4=13       a7=a6+a5=21       a8=a7+a6=34       a9=a8+a7=55       a10=a9+a8=89思考题：用8张1×2的方格纸覆盖2×8的方格纸，共有多少种不同的覆盖方式？解题新思绪：   探究数学问题解决的新思绪，对于学生发散性思维和发明性思维的培养是十分有利的下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思绪的：例：如图（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F.   求证：EF=FB 分析：这个题目自身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的进一步挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下：证明一：如图所示，作BQ∥AD,交DF延长线于Q点，则四边形ABQD是平行四边形，从而BQ=AD，再由题设可证△CEF≌△QBF, 得证EF=FB. 证明二：如左图所示：作FM∥DA交AB于M，则四边形ADFM是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证. 证明三：作CN∥EB交AB于N，则四边形CNBF是□，从而CN=FB.    再证：△ANC≌△DFE，可得CN=EF，即EF=FB. 证明四：作DP∥FB交AB于P，证明△ADP≌△CEF，从而得出结论. 　证明五：延长EC交AB于G，则四边形ADCG是□，∴CE=AD=GC，即C是EG中点.又CF∥GB，∴F是EB中点，结论得证. 证明六：连结AE交CD于O点，则O 是AE中点，又OF∥AB，∴F是AB中点，得证. 证明七：延长ED交BA延长线于H点，则HACD是□ , ∴CA=DH=ED  ∴D是EH中点.又DF∥HB ∴F是EB中点，得证.证明八：作ES∥CD交AD延长线于S，则CDSE是□ ∴DS=CE=AD ∴D是AS中点.又SE∥CD∥AB ∴F是EB中点，得证.证明九：在证明一作的辅助线基础上，连结EQ，则可得ECBQ是□，从而F是□ECBQ对角线EB的中点。

    总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种：    ①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换    ②作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论    这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。