§4.2 指数函数4．2.1 指数函数的概念学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．知识点一 指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考 为什么底数应满足a>0且a≠1?答案 ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.知识点二 两类指数模型1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当00)是指数函数．( × )2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( × )3．y＝x是指数衰减型函数模型．( √ )4．若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( × )一、指数函数的概念例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．4答案 B解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )A．(0,1)∪(1，＋∞) B．[0,1)∪(1，＋∞)C.∪(1，＋∞) D.答案 C解析 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1.反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．跟踪训练1 (1)下列是指数函数的是( )A．y＝－3x B．y＝C．y＝ax D．y＝πx答案 D解析 根据指数函数的特征知，A，B，C不满足．(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．答案 2解析 由指数函数的定义知由①得a＝1或2，结合②得a＝2.二、求指数函数的解析式或函数值例2 (1)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f 的值为( )A．2 B．－2 C．－2 D．2答案 D解析 因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f ＝＝2.(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式．解 当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，∴函数f(x)为指数衰减型，令f(x)＝kx(k≠0)，又f(0)＝3，∴k＝3，∴f(x)＝3·x.反思感悟 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．跟踪训练2 指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于( )A．8 B．16 C．32 D．64答案 D解析 由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用例3 某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．解 (1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*.(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图．x0123…y200210220.5231.5…作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．∵80且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.5．若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数的取值范围是________．答案 (－∞，1)∪解析 由题意可得解得a<且a≠1.1．知识清单：(1)指数函数的定义．(2)指数增长型和指数衰减型函数模型．2．方法归纳：待定系数法．3．常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.1．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于( )A．8 B. C．4 D．2答案 D解析 ∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，解得a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.2．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)答案 C解析 f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．3．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )A．4 B．1或3C．3 D．1答案 C解析 由题意得解得a＝3.4．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )A．a＝1或－1 B．a＝1C．a＝－1 D．a>0且a≠1答案 C解析 因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，所以即a＝－1.5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2020年的湖水量为m，从2020年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝(1－0.150x)m答案 C解析 设每年的衰减率为q%，则(1－q%)50＝0.9，所以1－q%＝，所以y＝m·(1－q%)x＝.6．下列函数中是指数函数的是________．(填序号)①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④y＝ ；⑤y＝.答案 ③解析 ①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．7．已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a＝________，若g(x)＝4－x－2，且g(m)＝f(m)，则m＝________.答案 1 －1解析 因为函数的图象过点(－1,2)，所以－a＝2，所以a＝1，所以f(x)＝x，g(m)＝f(m)可变形为4－m－2－m－2＝0，解得2－m＝2，所以m＝－1.8．f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.答案 解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝2＝.9．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．解 (1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.(2)F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？解 设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，∴乙方案能获得更多的木材．11．已知函数f(x)＝ 则f 等于( )A．4 B. C．－4 D．－答案 B解析 ∵f ＝1－ ＝1－3＝－2，∴f ＝f(－2)＝2－2＝.12．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交。
