山东省日照市2024-2025学年高二下学期期末校际联合考试数学（解析版）.docx

2023级高二下学期期末校际联合考试数学试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据交集定义计算求解即可.【详解】集合，则.故选：D.2. 设等差数列的前n项和为，若，，则的值为（ ）A 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质可求.【详解】在等差数列中，故选：D.3. 函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可.【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D；由，得函数在上单调递增，排除C；且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求.故选：B4. 已知命题 ，命题，则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论.【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出，即充分性成立；由可推出，不能推出，即必要性不成立；因此命题是命题的充分不必要条件.故选：A5. 函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可.【详解】的定义域为，解不等式，可得，故函数的单调递减区间为.故选：B.6. 若，，则（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解.【详解】由可得：.则.故选：C7. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ）A. 4 B. 5C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解.【详解】由可得：.因为，所以，，则，当且仅当，即时等号成立.故选：B.8. 定义在的增函数满足：，且，.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ）A. 7 B. 8C. 9 D. 10【答案】B【解析】【分析】应用已知条件分别构造抽象函数模型计算得出再应用等比数列的求和公式计算可得.【详解】，可令，又，则，，．．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知，，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B.【详解】因为，，对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错；对于B，因为，所以，B错；对于C，由不等式的性质可得，从而，C对；对于D，由不等式的性质可得，D对.故选：CD.10. 已知，则（ ）A. 是的极大值点B. 在上单调递增C. 所有零点之和为0D. 直线是的切线【答案】BCD【解析】【分析】对函数求导，令导函数等于零，解出方程的根，然后结合单调性判断A，B选项，利用因式分解以及二次方程求根公式求解函数的零点即可判断C选项，设切点坐标，利用函数导数的几何意义求出函数在该点出的切线方程，结合已知切线方程为，求出切点即可判断D选项.【详解】因为，所以，令，则，由函数定义域为，则当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增，所以是的极小值点，故A选项不正确；由且函数在上单调递增，所以在上单调递增，故B选项正确；由，令即，所以或，所以，由知，所以方程有两不等实根，所以有，所以的所有零点之和为，故C正确；设直线与的切点为，则，此时在点处的切线方程为：，即，又此时在点处的切线方程为：，所以，解得，所以，所以存在切点使得函数切线方程为：，故D正确，故选：BCD.11. 已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（ ）A. 若，则数列具有性质B. 若数列的前项和，则数列具有性质C. 若数列具有性质，则常数D. 若数列具有性质，则为等差数列【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据等差数列求和得，然后根据性质的概念判断；对于B，，然后根据性质的概念判断；对于C，性质的线性特征求得判断C；根据性质的概念得，通过构造递推式证明等差数列即可判断D.【详解】对于C，若具有性质，则①，交换i，j的位置②，①+②，，C正确．对于A，若，，对两两不等的正整数i，j，k符合条件，具有性质，A正确．对于B，，取，，，，不具有性质，B错．对于D，令，，记为数列的前n项和，具有性质，，①，时，②，①-②，（且），而时，上式也成立对恒成立，为等差数列，D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数，则______ .【答案】【解析】【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解.【详解】因为函数，且，所以，故答案为：.13. 已知等比数列为递增数列，且的等差中项为，则公比为________．【答案】5【解析】【分析】利用等差中项的性质建立方程，结合等比数列的性质化简方程，求解参数即可.【详解】因为的等差中项为，所以，则，由等比数列性质得，得到，解得或，由于为递增数列，故符合题意.故答案为：514. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得解集为，的解集为，再结合题意可得3为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可.【详解】由为偶函数，得，即，不等式，又函数在上单调递减，且，则函数在上单调递增，则当时，，当时，，当时，，当时，，即的解集为，的解集为，由不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，不符合题意；当时，不等式解集为，解集为，要使不等式的解集为，则，即；当时，不等式解集为，解集为，此时不等式的解集不为，因此，，当且仅当，即，时取等号，所以即的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 设全集，集合，集合，其中.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）解不等式，得到，，利用交集概念求出答案；（2）求出，得到为的真子集，从而得到不等式，求出答案.【小问1详解】由得：，解得：，即，当时，，解得：，即；故；【小问2详解】由（1）知：；由得：，即，因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集.或，解得，即实数的取值范围为.16. 已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，由此可得结论；（2）先求，再分别确定为偶数时的通项和为奇数时的通项，再利用分组求和法结合裂项相消法和等比数列求和公式求结论.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，所以解得，所以，，【小问2详解】由（1）知，，因此当为偶数时，当为奇数时，，所以.17. 已知函数.（1）当为奇数时，证明：的图像关于点对称；（2）设.（i）当时，求的极值；（ii）当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）极大值为0，无极小值；.【解析】【分析】（1）根据题意，验证，即可得到答案；（2）（i）求导，利用导数求解导数求出单调性，进而得到答案；（ii）求导，分类讨论，结合最值求得答案.【小问1详解】由题意得，因为奇数，，故， 所以的图像关于点对称.【小问2详解】（i）当时，，定义域为求导得令得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，有极大值，极大值为0，无极小值.（ii），，则，令，得，即，①当时，显然有，符合题意；②当时，当时，，所以在单调递减，当时，，所以单调递增，所以为最小值点，不合题意；③当时，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，所以为最大值点，，符合题意，综上，实数的取值范围为.18. 已知函数，记，且，.（1）求，；（2）设，.（i）证明：；（ii）求【答案】（1）， （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）求出导数，利用递推关系可得答案；（2）（ⅰ）利用进行放缩，结合等比数列求和公式可证结论；（ⅱ）求出的递推关系，利用等差数列的定义可证明等差数列，利用错位相减法可求和；【小问1详解】因为，所以，.【小问2详解】（ⅰ）因为，所以，又，所以，；由（1）可知，，所以，所以为首项，公比为的等比数列，所以，又因为，所以，所以，因为，，所以因为，所以；（ⅱ）因为，所以，所以是以为首项和公差的等差数列，，所以.令，则,,两式相减可得,.19. 已知函数（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若有3个零点，，，且.（i）求实数的取值范围；（ii）比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1） （2）（i）（ii），证明见详解.【解析】【分析】（1）通过求导得出切线斜率，找到切点坐标，再利用点斜式得到切线方程.（2）（i）明确函数定义域，分析导数构成，其分子为二次函数，函数有三个零点时，该二次函数有两个不同的正根，进而确定参数的范围.（ii）已知三个零点的大小关系，其中一个零点可直接确定，结合二次函数根的性质及函数单调性，分析零点之和的范围，进而比较所求表达式与二倍参数的大小.【小问1详解】当时，，则，即，切线的斜率为，又，切点为，故在点处的切线方程为，即.【小问2详解】（i）函数，则，①当时，，在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉.②当时，，在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉.③当时，令，即，解得或，令，得；令，得或，在单调递减，在和单调递增，，，，又，，当时，，在上恰有一个零点，，当时，，在上恰有一个零点，。