高中数学空间向量的直角坐标运算题库.docx

22 222 2 2 2 23.1.4空间向量的直角坐标运算学习目标1. 了解空间向量坐标的定义 .2. 掌握空间向量运算的坐标表示 .3. 能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．知识点一 空间向量的坐标表示1．空间直角坐标系及空间向量的坐标建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，这三个互 相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向 量 i，j，k 都叫做坐标向量．2．空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量 a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a ，a ，1 2a )，使 a＝a i＋a j＋a k，a i，a j，a k 分别为向量 a 在 i，j，k 方向上的分向量，有序实数 3 1 2 3 1 2 3组(a ，a ，a )叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作 a＝(a ，a ，a )． 1 2 3 1 2 3知识点二 空间向量的坐标运算空间向量 a，b，其坐标形式为 a＝(a ，a ，a )，b＝(b ，b ，b ).1 2 3 1 2 3向量运算加法减法数乘数量积向量表示a＋ba－bλaa· b坐标表示 (a ＋b ，a ＋b ，a ＋b )1 1 2 2 3 3 (a －b ，a －b ，a －b )1 1 2 2 3 3 (λa ，λa ，λa )1 2 3a b ＋a b ＋a b1 1 2 2 3 3知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a＝(a ，a ，a )，b＝(b ，b ，b )，则1 2 3 1 2 3名称向量表示形式满足条件坐标表示形式a∥ba⊥ba＝λb(λ∈R) a· b＝0a ＝λb ，a ＝λb ，a ＝λb (λ∈R) 1 1 2 2 3 3a b ＋a b ＋a b ＝01 1 2 2 3 3模|a|＝ a· a|a|＝ a＋a ＋a1 2 3夹角a· bcos〈a，b〉＝|a||b |cos〈a，b〉＝a b ＋a b ＋a b1 1 2 2 3 3a ＋a ＋a b ＋b ＋b 1 2 3 1 2 31 1 1→ → → → 1 —→ → 1 → æ 1ö → → → → 1 →èø2öø2→ —→ ——→ —→ —→ → 1 → æ1 öèø21→ → → æ—→ → → öèø2æ→ 1 —→ö 1 —→ 1 → æ1 1öè øèø222→ → ö æ→ —→ ö1 1→ → → æè øø è221．若 a＝xe ＋ye ＋ze ，则 a 的坐标是(x，y，z)．( × )1 2 3→2．若向量AB＝(x，y，z)，则点 B 的坐标是(x，y，z)．( × )→3．若点 A 的坐标为(x，y，z)，则OA＝(x，y，z)．( √ )x y z4．设 a＝(x ，y ，z )，b＝(x ，y ，z )且 b≠0，则 a∥b ＝ ＝ .( × )1 1 1 2 2 2 x y z2 2 2→ →5．四边形 ABCD 是平行四边形，则向量AB与DC的坐标相同．( √ )题型一 空间向量的坐标表示与运算命题角度 1 空间向量的坐标表示例 1 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F，G 分别为棱 DD′，D′C′， → → —→BC 的中点，以{AB，AD，AA′}为基底，求下列向量的坐标．→ → → (1)AE，AG，AF；→ → → (2)EF，EG，DG.解(1)AE＝AD＋DE＝ AD＋ DD′＝AD＋ AA′＝ 0，1， ，AG＝AB＋BG ＝AB＋ AD＝2 2 2æè11， ，0 ，AF＝AA′＋A′D′＋D′F＝AA′＋AD＋ AB＝ ，1，1 .2(2)EF＝AF－AE＝ AA′＋AD＋ AB －AD＋ AA′ ＝ AA′＋ AB＝ ，0， ，2 2EG＝AG－AE＝ AB＋ AD － AD＋ AA′→ 1 → 1 —→ æ 1 1öèø2 2→ 1 → æ 1 öèø2→ → → → 1 —→ æ 1öèø21AG＝AB＋BG＝DC＋ － DA1 → → æ 1 öèø2→ 1 —→ 1 → æ 1 1öè ø2 2＝AB－ AD－ AA′＝ 1，－ ，－ ，2 2→ → → → 1 → →DG＝AG－AD＝AB＋ AD－AD2＝AB－ AD＝ 1，－ ，0 .2引申探究→ → —→ → → →本例中，若以{DA，DC，DD′}为基底，试写出AE，AG，EF的坐标． 解 AE＝AD＋DE＝－DA＋ DD′＝ －1，0， ，2→ → → → æ → öè 2 ø＝－ DA＋DC＝ － ，1，0 ，2EF＝ DD′＋ DC＝ 0， ， .2 2反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤→跟踪训练 1 设正四棱锥 S-P P P P 的所有棱长均为 2，建立适当的空间直角坐标系，求SP ，1 2 3 4 1—→P P 的坐标．2 3解如图所示，建立空间直角坐标系，其中 O 为底面正方形的中心，P P ⊥y 轴，P P ⊥x1 2 1 4轴，SO 在 z 轴上．∵|P P |＝2，而 P ，P ，P ，P 均在 xOy 平面上， 1 2 1 2 3 4∴P (1,1,0)，P (－1,1,0)．1 2在 xOy 平面内，P 与 P 关于原点 O 对称，P 与 P 关于原点 O 对称，∴P (－1，－1,0)，P (1，3 1 4 2 3 4－1,0)．又|SP |＝2，|OP |＝ 2，1 1∴在 SOP 中，|SO|＝ 2，∴S(0,0， 2)．1→ → →∴SP ＝OP －OS＝(1,1，－ 2)，1 1—→ → →P P ＝OP －OP ＝(0，－2,0)．2 3 3 2命题角度 2 空间向量的坐标运算例 2 已知 a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则 b 等于( )A．(2，－4,2) C．(－2,0，－2)B．(－2,4，－2) D．(2,1，－3)答案 A解析 依题意，得 b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．跟踪训练 2 若向量 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则 x ＝________.答案 2解析 由题意，得 c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得 x＝2.题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示→ →例 3 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设 a＝AB，b＝AC.→(1) 若|c |＝3，c∥BC，求 c；(2) 若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.解→ → (1)因为BC＝(－2，－1,2)，且 c∥BC，22222→所以设 c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c |＝(－2λ)＋(－λ)＋(2λ)＝3|λ|＝3，解得 λ＝±1.即 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．→ →(2)因为 a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k ＋k－10＝0.5 5解得 k＝2 或 k＝－ ，故所求 k 的值为 2 或－ .2 2引申探究若将本例(2)中改为“若 ka－b 与 ka＋2b 互相垂直”，求 k 的值．解由题意知 ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)，∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，5即(k＋1)(k－2)＋k －8＝0，解得 k＝－2 或 k＝ ，25故所求 k 的值为－2 或 .2反思感悟 (1)平行与垂直的判断① 应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．② 判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是 否为 0.(2)平行与垂直的应用① 适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 a＝λb)，建立关于参数的方程．② 选择坐标形式，以达到简化运算的目的．跟踪训练 3 正方体 ABCD－A B C D 中，E 是棱 D D 的中点，P，Q 分别为线段 B D ，BD1 1 1 1 1 1 1→ → → →上的点，且 3B P＝PD ，若 PQ⊥AE，BD＝λDQ，求 λ 的值．1 1æöèø23 3æ öèø4 4æöæèøè4 4öø2æöèø4æöèø4 4→ → æèöø4 44考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算解如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空11间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 1，则 A(1,0,0)，E 0，0， ，B(1,1,0)，B (1,1,1)，D (0,0,1)，1 1由题意，可设点 P 的坐标为(a，a,1)， → →因为 3B P＝PD ，1 1所以 3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，3所以 3a－3＝－a，解得 a＝ ，4所以点 P 的坐标为 ， ，1 .由题意可设点 Q 的坐标为(b，b,0)，→ →因为 PQ⊥AE，所以PQ· AE＝0，3 3所以 b－ ，b。