高中数学【配套Word版文档】专题四三角函数与平面向量的综合应用.doc

专题四　三角函数与平面向量的综合应用1． 三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围．2． 三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的．3． 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．4． 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．1． 已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．答案　－解析　＝＝tan α.根据三角函数的定义得tan α＝＝－.所以＝－.2． 已知f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.答案　解析　f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)＝2sin，由θ＋＝kπ＋ (k∈Z)及θ∈(0，π)，可得θ＝.3. 如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈)图象的一部分，则f(x)的解析式为____________．答案　f(x)＝2sin＋1解析　由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈，得φ＝.由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－ (k∈Z)，得ω＝－2k＋(k∈Z)．又>2π，∴0<ω<1.∴ω＝.∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin＋1.4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝___________.答案　解析　方法一　应用两角差的正弦公式求解．由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，∴CE＝，则sin∠CEB＝，cos∠CEB＝.而∠CED＝45°－∠CEB，∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)＝(cos∠CEB－sin∠CEB)＝×＝.方法二　利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．由题意得ED＝，EC＝＝.在△EDC中，由余弦定理得cos∠CED＝＝，又0<∠CED<π，∴sin∠CED＝＝＝.5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当·取得最小值时，tan∠DPA的值为________．答案　解析　如图，以A为原点，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β，P(3，y) (0≤y≤2)．∴＝(－3,1－y)，＝(－3，－y)，∴·＝y2－y＋9＝2＋，∴当y＝时，·取得最小值，此时P，易知||＝||，α＝β.在△ABP中，tan β＝＝6，tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝＝.题型一　三角恒等变换例1　设<α<，sin＝，求的值．思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系．解　方法一　由<α<，得<α－<，又sin＝，所以cos＝.所以cos α＝cos[(α－)＋]＝coscos －sinsin ＝，所以sin α＝.故原式＝＝cos α(1＋2sin α)＝.方法二　由sin＝，得sin α－cos α＝，两边平方，得1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝>0.由于<α<，故<α<.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，故sin α＋cos α＝，解得sin α＝，cos α＝.下同方法一．探究提高　三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响． 已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．答案　－解析　cos＋sin α＝⇒sin α＋cos α＝⇒sin＝，所以sin＝－sin＝－.题型二　三角函数的图象与性质例2　(2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．解　(1)由题意得T＝＝6.因为P(1，A)在y＝Asin(x＋φ)的图象上，所以sin(＋φ)＝1.又因为0<φ<，所以φ＝.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得cos∠PRQ＝＝＝－，解得A2＝3.又A>0，所以A＝.探究提高　本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A是本题的难点． 已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π，又因为当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)，φ＝2kπ＋ (k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝2sin.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋ (k∈Z)，解得x＝k＋，由≤k＋≤，解得≤k≤，又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.题型三　三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3　已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2＝sin ＋＝sin＋，∵m·n＝1，∴sin＝.cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.∴cos B＝，∵0