小升初数学整数问题1(1).pdf

学 海 无 涯 小升初数学整数问题小升初数学整数问题 1 1 时间 2009 年 08 月 27 日 作者 匿名 来源 网络 第五讲第五讲 整数问题之一整数问题之一 整数是最基本的数 它产生了许多有趣的数学问题整数是最基本的数 它产生了许多有趣的数学问题 在中 小学生的数学竞赛中 有关整在中 小学生的数学竞赛中 有关整 数的问题占有重要的地位数的问题占有重要的地位 我们除了从课本上学习整数知识以外 还必须通过课外活动来补我们除了从课本上学习整数知识以外 还必须通过课外活动来补 充一些整数的知识 以及解决问题的思路和方法 充一些整数的知识 以及解决问题的思路和方法 对于两位 三位或者更多位的整数 有时对于两位 三位或者更多位的整数 有时要用下面的方法来表示 要用下面的方法来表示 49 449 4 10 910 9 235 2235 2 100 3100 3 10 510 5 7064 77064 7 1000 61000 6 1 10 40 4 就是就是 5 1 5 1 整除整除 整除是整数问题中一个重要的基本概念整除是整数问题中一个重要的基本概念 如果整数如果整数 a a 除以自然数除以自然数 b b 商是整数且余数为 商是整数且余数为 0 0 我们就说我们就说 a a 能被能被 b b 整除 或整除 或 b b 能整除能整除 a a 或 或 b b 整除整除 a a 记作 记作 b b 丨丨 a a 此时 此时 b b 是是 a a 的一个因数的一个因数 约数 约数 a a 是是 b b 的倍数的倍数 1 1 整除的性质整除的性质 学 海 无 涯 性质性质 1 1 如果如果 a a 和和 b b 都能被都能被 m m 整除 那么整除 那么 a ba b a a b b 也都能被也都能被 m m 整除 这里设整除 这里设 a a b b 例如 例如 3 3 丨丨 1818 3 3 丨丨 1212 那么 那么 3 3 丨 丨 18 1218 12 3 3 丨 丨 1818 1212 性质性质 2 2 如果如果 a a 能被能被 b b 整除 整除 b b 能被能被 c c 整除 那么整除 那么 a a 能被能被 c c 整除 整除 例如 例如 3 3 丨丨 6 6 6 6 丨丨 2424 那么 那么 3 3 丨丨 24 24 性性质质 3 3 如果如果 a a 能同时被能同时被 m m n n 整除 那么整除 那么 a a 也一定能被也一定能被 m m 和和 n n 的最小公倍数整除的最小公倍数整除 例如 例如 6 6 丨丨 3636 9 9 丨丨 2626 6 6 和和 9 9 的最小公倍数是的最小公倍数是 1818 1818 丨丨 36 36 如果两个整数的最大公约数是如果两个整数的最大公约数是 1 1 那么它们称为互质的 那么它们称为互质的 例如 例如 7 7 与与 5050 是互质的 是互质的 1818 与与 9191 是互质的是互质的 性质性质 4 4 整数整数 a a 能分别被 能分别被 b b 和和 c c 整除 如果整除 如果 b b 与与 c c 互质 那么互质 那么 a a 能被能被 b b c c 整除整除 例如 例如 7272 能分别被能分别被 3 3 和和 4 4 整除 整除 由由 3 3 与与 4 4 互质 互质 7272 能被能被 3 3 与与 4 4 的乘积的乘积 1212 整除整除 性质性质 4 4 中 两数互质 这一条件是必不可少的中 两数互质 这一条件是必不可少的 72 72 分别能被分别能被 6 6 和和 8 8 整整除 但不能被乘积除 但不能被乘积 4848 整除 这就是因为整除 这就是因为 6 6 与与 8 8 不互质 不互质 6 6 与与 8 8 的最大公约数的最大公约数是是 2 2 性质性质 4 4 可以说是性质可以说是性质 3 3 的特殊情形的特殊情形 因为因为 b b 与与 c c 互质 它们的最小公倍数是互质 它们的最小公倍数是 b b c c 事实上 事实上 根据性质根据性质 4 4 我们常常运用如下解题思路 我们常常运用如下解题思路 要使要使 a a 被被 b b c c 整除 如果整除 如果 b b 与与 c c 互质 就可以分别考虑 互质 就可以分别考虑 a a 被被 b b 整除与整除与 a a 被被 c c 整除整除 学 海 无 涯 能被能被 2 2 3 3 4 4 5 5 8 8 9 9 1111 整除的数都是有特征的 我们可以通过下面讲到的一些特征整除的数都是有特征的 我们可以通过下面讲到的一些特征 来判断许多数的整除问题来判断许多数的整除问题 2 2 数的整除特征数的整除特征 1 1 能被 能被 2 2 整除的数的特征 整除的数的特征 如果一个整数的个位数是偶数 那么它必能如果一个整数的个位数是偶数 那么它必能被被 2 2 整除整除 2 2 能被 能被 5 5 整除的数的特征 整除的数的特征 如果一个整数的个位数字是如果一个整数的个位数字是 0 0 或或 5 5 那么它必能被 那么它必能被 5 5 整除整除 3 3 能被 能被 3 3 或 或 9 9 整除的数的特征 整除的数的特征 如果一个整数的各位数字之和能被如果一个整数的各位数字之和能被 3 3 或 或 9 9 整除 那么它必能被 整除 那么它必能被 3 3 或 或 9 9 整除 整除 4 4 能被 能被 4 4 或 或 2525 整除的数的特征 整除的数的特征 如果一个整数的末两位数能被如果一个整数的末两位数能被 4 4 或 或 2525 整除 那么它必能被 整除 那么它必能被 4 4 或 或 2525 整除 整除 5 5 能被 能被 8 8 或或 125125 整除的数的特征 整除的数的特征 如果一个整数的末三位数能被如果一个整数的末三位数能被 8 8 或 或 125125 整除 那么它必能被 整除 那么它必能被 8 8 或 或 125125 整除 整除 6 6 能 能被被 1111 整除的整除的数的特征 数的特征 如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差 大减小 能被如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差 大减小 能被 1111 整除 那么它整除 那么它 必能被必能被 1111 整除整除 是什么数字 是什么数字 解 解 1 18 28 2 9 9 并且 并且 2 2 与与 9 9 互质 根据前面的性质互质 根据前面的性质 4 4 可以分别考虑被 可以分别考虑被 2 2 和和 9 9 整除整除 要被要被 2 2 整除 整除 b b 只能是只能是 0 0 2 2 4 4 6 6 8 8 学 海 无 涯 再考虑被再考虑被 9 9 整除 四个数字的和就要被整除 四个数字的和就要被 9 9 整除 已有整除 已有 7 4 11 7 4 11 如果如果 b 0b 0 只有 只有 a 7a 7 此数是 此数是 77407740 如果如果 b 2b 2 只有 只有 a 5a 5 此数是 此数是 75427542 如果如果 b b 4 4 只有 只有 a a 3 3 此数是 此数是 73447344 如果如果 b b 6 6 只有 只有 a a 1 1 此数是 此数是 71467146 如果如果 b b 8 8 只有 只有 a a 8 8 此数是 此数是 7848 7848 因此其中最小数是因此其中最小数是 7146 7146 根据不同的取值根据不同的取值 分情况进行讨论 是解决整数问题常用办法 例 分情况进行讨论 是解决整数问题常用办法 例 1 1 就是一个典型就是一个典型 例例 2 2 一本老账本上记着 一本老账本上记着 7272 只桶 共 只桶 共 67 967 9 元 其中 元 其中 处是被虫蛀掉的数字 请把这处是被虫蛀掉的数字 请把这 笔账补上笔账补上 解 把 解 把 67 967 9 写成整数 写成整数 679679 它应被 它应被 7272 整除整除 72 72 9 9 8 8 9 9 与与 8 8 又互质又互质 按照前面的性按照前面的性 质质 4 4 只要分别考虑 只要分别考虑 679679 被被 8 8 和被和被 9 9 整除整除 从被从被 8 8 整除的特征 整除的特征 7979 要被要被 8 8 整除 因此整除 因此 b b 2 2 从从 67926792 能被能被 9 9 整除 按照被整除 按照被 9 9 整除特征 各位数字之和整除特征 各位数字之和 24 24 能被能被 9 9 整除 因此整除 因此 a a 3 3 这笔帐是这笔帐是 367 92367 92 元元 例例 3 3 在在 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 六个数六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数 有些数字可字中选出尽可能多的不同数字组成一个数 有些数字可 以重复出现 使得能被组成它的每一个数字整除 并且组成的数要尽可能小以重复出现 使得能被组成它的每一个数字整除 并且组成的数要尽可能小 解 如果选数字解 如果选数字 5 5 组成数的最后一位数字就必须是 组成数的最后一位数字就必须是 5 5 这样就不能被偶数 这样就不能被偶数 2 2 4 4 6 6 整除 整除 也就是不能选也就是不能选 2 2 4 4 6 6 为了要选的不同数字尽可能多 我们只能不选为了要选的不同数字尽可能多 我们只能不选 5 5 而选其他五个数 而选其他五个数 学 海 无 涯 字字 1 1 2 2 3 3 4 4 6 1 2 3 4 66 1 2 3 4 6 1616 为了能整除 为了能整除 3 3 和和 6 6 所用的数字之和要能被 所用的数字之和要能被 3 3 整除 只整除 只 能再添上一个能再添上一个 2 2 16 216 2 1818 能被能被 3 3 整除整除 为了尽可能小 又要考虑到最后两位数能被为了尽可能小 又要考虑到最后两位数能被 4 4 整除整除 组成的数是组成的数是 122364 122364 例例 4 4 四位数四位数 7 7 4 4 能被 能被 5555 整除 求出所有这样的四位数整除 求出所有这样的四位数 解 解 5555 5 5 1111 5 5 与与 1111 互质 可以分别考虑被互质 可以分别考虑被 5 5 与与 1111 整整除除 要被要被 5 5 整除 个位数只能是整除 个位数只能是 0 0 或或 5 5 再考虑被再考虑被 1111 整除整除 7 47 4 百位数字 百位数字 0 0 要能被 要能被 1111 整除 百位数字只能是整除 百位数字只能是 0 0 所得四位数是 所得四位数是 7040 7040 7 47 4 百位数字 百位数字 5 5 要能被 要能被 1111 整除 百位数字只能是整除 百位数字只能是 6 6 零能被所有不等于零的整 零能被所有不等于零的整 数整除 所得四位数是数整除 所得四位数是 7645 7645 满足条件的四位数只有两个 满足条件的四位数只有两个 70407040 7645 7645 例例 5 5 一个七位数的各位数字互不相同 并且它能被一个七位数的各位数字互不相同 并且它能被 1111 整除 这样的数中 最大的是哪一整除 这样的数中 最大的是哪一 个 个 要使它被 要使它被 1111 整除 要满足整除 要满足 9 7 5 b9 7 5 b 8 6 a8 6 a 21 b21 b 14 a14 a 能被能被 1111 整除 也就是整除 也就是 7 b7 b a a 要能被要能被 1111 整除 但是整除 但是 a a 与与 b b 只能是只能是 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 中的两中的两 个数 只有个数 只有 b b 4 4 a a 0 0 满足条件的最大七位数是 满足条件的最大七位数是 9876504 9876504 学 海 无 涯 再介绍另一种解法再介绍另一种解法 先用各位数字均不相同的最大的七位数除以先用各位数字均不相同的最大的七位数除以 1111 参见下页除式 参见下页除式 要满足题目的条件 这个数是要满足题目的条件。