02-2 收敛数列的性质.doc

§ 2 收敛数列的性质 1. 极限唯一性：若数列收敛，则它只有一个极限 证 （反证法）若数列有两个极限收敛，，不妨设由，（极限的几何定义）外至多有数列的有限项内最多只有数列的有限项，与 矛盾2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件若数列收敛，则数列有界，即存在，对 都有 证明由，存在 时， 记，则对任意都有：3 收敛数列保号性： 若 ， 则对 ，时有 ；若 ， 则对 ，时有 ；推论 若 则对证明 时， ，即 例1 设 证明：若 则 （ 证 ） 定理2.5 设 ，若则 4 迫敛性 设 ，数列满足：存在时，，则数列收敛，且证明 时，时，取 时 所以 例2 求 解 法1） ， 所以可将 的形式， 用牛顿二项式定理 由迫敛性 解法2）5 绝对值收敛性: ( 注意反之不确 ). ( 证 ) 推论 设数列{}和{}收敛, 则 6 四则运算性质:设 ，则数列 也收敛，且， 。

若，则数列 也收敛，且 证明 （加法运算） 时，时， 时乘法运算 利用收敛数列的有界性时 代入上式，得 时 商性质 ， 若 利用乘法性质即可得到商性质证明 由保号性，存在 时， 代入上式，得 再由 时，例3 求 利用收敛收敛数列的四则运算性质 时时 总之 等于分子分母最高项系数的比 例4 求 解 ，由四则运算性质 ＝ 例5 求 7. 子列收敛性: 子列概念.Th ( 数列收敛充要条件 ) {}收敛 {}的任何子列收敛于同一极限. Th ( 数列收敛充要条件 ) {}收敛 子列{}和{}收敛于同一极限. Th ( 数列收敛充要条件 ) {}收敛 子列{}、{}和{都收敛于同一极限. 利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1． 利用四则运算性质求极限：例1 註： 关于的有理分式当时的极限情况例2 填空: ⑴ ⑵ 例3 例4 2. 利用迫敛性的基本技法: 大小项双逼法例5 求下列极限: ⑴ ⑵ ⑶ 例6 ( 例7 求证 例8 设存在. 若 则一. 利用子列性质证明数列发散:例9 证明数列 发散. 偶数列 ， 奇数列 发散。