中考数学重难点和二轮专题复习讲座第7讲 坐标系中的几何问题(含答案).doc

中考数学重难点专题讲座第七讲 坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题第一部分 真题精讲【例 1】2010，石景山，一模已知：如图 1，等边 ABC的边长为 23，一边在 x轴上且 130A， ， C 交y轴于点 E，过点 作 F∥ 交 于点 F．（1）直接写出点 、 的坐标； （2）若直线 10ykx将四边形 EAB的面积两等分，求 k的值； （3）如图 2，过点 ABC、 、 的抛物线与 y轴交于点 D， M为线段 OB上的一个动点，过 x轴上一点 ,G作 DM的垂线，垂足为 H，直线 G交 y轴于点 N，当 点段OB上运动时，现给出两个结论：① NC ② GNC，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明． 1-1图2图1DxyA BCO OFECBAyx【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。

在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来第一问不难，C 点纵坐标直接用 tg60°来算，七分中的两分就到手了第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象由于 EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过 D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了至此，一道看起来很难的压轴大题的 7 分就成功落入囊中了解析】解：（1） 130B， ； 13C， ． （2）过点 C作 PA于 ，交 EF于点 Q，取 P的中点 R．∵ AB是等边三角形， 130， ．∴ 60EO ．在 Rt中， 9A．∴ tan133．∴ 0,3E．∵ F∥ AB交 C于 F， 13， ．∴312R，． （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和 C 一样，纵坐标就是 E的纵坐标的一半）∵直线 1ykx将四边形 EABF的面积两等分．∴直线 必过点32R，．∴312k，∴5k-1R QFECBAO xy（3）正确结论：① GNMCD．证明：可求得过 AB、 、 的抛物线解析式为2yx∴ 02D， ．∵G， ．∴O．由题意 90NDOM．又∵ H∴ G∴≌∴ NODM， ON∴ 45过点 作 TCP于∴ 1∴ 45CDT由题意可知 ∥ AB∴ MO∴ 454545TGNO∴ DCM即： GN． （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）G PN MHTDCBA O xy【例 2】2010，怀柔，一模如图,在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线214089yx与ｘ正半轴交于点 A,与ｙ轴交于点 B,过点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC．现有两动点 P、Q 分别从 O、C 两点同时出发,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动 ,点 P 停止运动时,点 Q 也同时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点D,过点 D 作 DE∥OA,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F．设动点 P,Q 移动的时间为 t(单位: 秒)(1)求 A,B,C 三点的坐标;(2)当 t 为何值时,四边形 PQCA 为平行四边形? 请写出计算过程;(3)当 0＜t＜92时,△PQF 的面积是否总为定值 ?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当 t _________时,△PQF 为等腰三角形 ?【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。

本题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解注意平行于 X 轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的第二问就在于当四边形 PQCA 为平行四边形的时候题中已知条件有何关系在运动中，QC 和 PA 始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要 QC=PA 时候即可第三问求△PQF 是否为定值，因为三角形的一条高就是 Q 到 X 轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看 PF 是否为定值即可根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF，得解第四问因为已经知道 PF 为一个定值，所以只需 PQ=PF=18 即可，P 点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是 09 年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是 3 分,但是本题作为 1 分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ 就可以实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.【解析】解：(1) 21(80)yx，令 y得 2810x，180x∴ 或 1x∴ (8,0)A； 在2489y中，令 x得 10y即 (,)B； 由于 BC∥OA，故点 C 的纵坐标为－10，由241089x得 8x或 0即 (8,10)C 于是， ,(),(810)AB（2）若四边形 PQCA 为平行四边形，由于 QC∥PA.故只要 QC=PA 即可∵ 184,PtCQt ∴ 184t 得185t（3）设点 P 运动 t秒，则 4,OtCQt， 04.5，说明 P 段 OA 上，且不与点 O、A 重合，由于 QC∥OP 知△QDC∽△PDO，故14DtP∴ 4FtP∴ 18AO 又点 Q 到直线 PF 的距离 0d∴192PFS∴△PQF 的面积总为 90 （4）由上知， (4,0)18,)(,10)tFtQt， 4.5t。

构造直角三角形后易得 222(8)(5)PQtt，141010FO若 FP=PQ，即22()t，故2()4t，∵ 26.5t≤ ≤ ∴45t∴15t若 QP=QF，即22(8)10()0tt，无 4.t≤ ≤ 的 t满足条件；……………12′若 PQ=PF，即22(58)10t，得2(58)4t，∴814.5t或8410t都不满足 4.t≤ ≤ ，故无 0.t≤ ≤ 的 t满足方程； 综上所述：当125t时，△PQR 是等腰三角形 【例 3】2010,延庆,一模如图，已知抛物线 1C： 52xay的顶点为 P，与 x轴相交于 A、 B两点（点 A在点 B的左边） ，点 B的横坐标是 1．（1）求 P点坐标及 的值；（2）如图（1） ，抛物线 2C与抛物线 1关于 x轴对称，将抛物线 2C向右平移，平移后的抛物线记为 3， 的顶点为 M，当点 P、 关于点 B成中心对称时，求 3的解析式；（3）如图（2） ，点 Q是 x轴正半轴上一点，将抛物线 1C绕点 Q旋转 180后得到抛物线 4C．抛物线 4的顶点为 N，与 轴相交于 E、 F两点（点 E在点 F的左边） ，当以点P、 N、 F为顶点的三角形是直角三角形时，求点 的坐标．yxAOBPN图 2C1C4QE FyxAOBPM图1C1C2 C3【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将 B（1,0）代入，第一问轻松拿分。

第二问直接求出 M 坐标，然后设顶点式，继续代入点 B 即可第三问则需要设出 N，然后分别将 NP，PF,NF 三个线段的距离表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性计算量比较大，务必细心解析】解：⑴由抛物线 1C： 25yax得顶点 P的为 (25)， ∵点 10)B在抛物线 1上∴ 25a解得， 9 ⑵连接 PM，作 Hx轴于 ，作 MGx轴于∵点 、 关于点 B成中心对称∴ 过点 ，且 ∴ PG△ ≌ △∴ 5MH, 3B∴顶点 的坐标为 (4)， （标准答案如此，其实没这么麻烦，点 M 到 B 的横纵坐标之差都等于 B 到 P 的，直接可以得出（4,5） ）抛物线 2C由 1关于 x轴对称得到，抛物线 3C由 2平移得到∴抛物线 3的表达式为2549yx⑶∵抛物线 4由 1绕点 轴上的点 Q旋转 180得到∴顶点 N、 P关于点 成中心对称由⑵得点 的纵坐标为 5设点 坐标为 ()，m 作 PHx轴于 ，作 NGx轴于作 K于∵旋转中心 Q在 x轴上∴ 26EFABH∴ 3G，点 坐标为 (30)，m坐标为 (20)，， K坐标为 5，根据勾股定理得 22410PNm5FH2253①当 90PN时， 22PNF，解得43m，∴ Q点坐标为19(0)3，②当 F时， ，解得10，∴ 点坐标为2，③∵ 1K，∴ 9≠综上所得，当 Q点坐标为(0)3，或2()，时，以点 P、 N、 F为顶点的三角形是直角三角形． 【例 4】2010，房山，一模如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1： 36yx交 轴、 y轴于 A、 B两点，点 ,Mmn是线段 AB上一动点，点 C是线段 OA的三等分点．（1）求点 C的坐标；（2）连接 ，将 M△ 绕点 旋转 180，得到 'CM△ ．①当BA时，连结 'C、 'A，若过原点 O的直线 2l将四边形 ''AC分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；②过点 'A作 'Hx轴于 ，当点 M的坐标为何值时，由点 '、 H、 、 M构成的四边形为梯形？ yxAOBPN图(2)C1C4QE FH GK OMBA【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。

第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为麻烦,因为 C 点有两种可能,H 在 C 点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.【解析】（1）根据题意： 6,0A， ,63B ∵C是线段 O的三等分点∴ 2,0或 4,---------------2 分（2）① 如图，过点 M作 Ny轴于点 ，则 BAO△ ∽ △ ．∵12．∴ 3∴1BNO∴ 0,4∵点 M在直线 36yx上∴ 2,43M- ∵ 'AC△ 是由 △ 绕点 M旋转 180得到的∴ '∥∴无论是 1、 2点，四边形 AC是平行四边形且 M为对称中心∴所求的直线 2l必过点 ,43．∴直线 l的解析式为: yx  xy C 2C2C1NC1'A'OMBA② 当 12,0时，第一种情况： H在 C点左侧若四边形 AM是梯形∵ 与 1不平行∴ H∥ 。