工程力学-力的平移定理.ppt

第四章 平面任意力系,§4–1 力的平移 §4–2 平面任意力系向一点简化 §4–3 平面任意力系的平衡条件 §4–4 刚体系的平衡 §4–5 静定与静不定问题的概念 平面任意力系习题课,,,主要介绍：平面任意力系的简化、平面任意力系的平 衡条件、刚体系的平衡平面任意力系：各力的作用线位于同一平面内，但既不汇交 于一点又不相互平行的力系叫平面任意力系研究方法：,平面任意力系(未知),平面汇交力系(已知),,,平面力偶系(已知),§4–1 力的平移,定理： 作用在刚体上的力可以平行移动到刚体上的任一点而不 改变其对刚体的作用效应，但必须同时附加一个力偶， 其力偶矩等于原来的力对新的作用点的力矩∴,,,平移,等效,可知：平移时力的大小、方向不变，M 随平移点的位置而变∴,,平移,,§4–2 平面任意力系向一点简化,一、 平面任意力系向一点简化,平面任意力系,平面汇交力系：,平面力偶系：,平面汇交力系合力：,平面力偶系合力偶矩：,MO,的作用线过O点，称 为平面任意力系的主矢称 MO 为平面任意力系对简化中心 O 点的主矩。

平面任意力系,平面汇交力系：,平面力偶系：,平面汇交力系合力：,平面力偶系合力偶矩：,MO,结论：平面任意力系向一点简化，可得到一个力和一个力偶， 这个力等于该力系的主矢，力的作用线通过简化中心 O点，这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心 O 点 的主矩可知：O 点位置不同时，主矢 不变，主矩 MO 不同MO,取坐标系 Oxy ，则,,O,主矢的解析式：,,对O 点主矩的解析式：,=,固定端(插入端)的约束力：,如：,雨 棚,车 刀,,,认为固定端受一平面任意力系作用；,将平面任意力系向 A 点简化，得,一力：,一力偶：MA,,限制物体移动限制物体转动固定端约束力：,二、 平面任意力系简化的最后结果,简化结果：,1. 平面任意力系简化为一个力偶,若,此时原力系简化为一力偶，其力偶矩为 ，且为一常量即 MO 与 O 点位置无关(力偶对平面内任一点的矩都相同)2. 平面任意力系简化为一个合力,若,合力的作用线过O 点原力系简化为一合力 ，且,若,原力系简化为一力，一力偶，可进一步简化为一力MO,,作用线通过 A 点，,,,3. 平面任意力系平衡的情形,若,则平面任意力系平衡。

MO=FR·d,§4–3 平面任意力系的平衡条件,一、平面任意力系平衡方程的基本形式,简化结果： 主矢 ，主矩 MO,若 时，力系向其他点简化也均为零，,力系一定平衡——充分性；,反之，若要力系平衡， 、MO 必须为零——必要性∴ 平面任意力系的平衡条件： 、MO 均为零即：,,而：,∴得平衡方程,,力系各力在 x 轴上投影的代数和为零；,力系各力在 y 轴上投影的代数和为零；,力系各力对任一点之矩的代数和为零二、平面任意力系平衡方程的二力矩形式与三力矩形式,其中A、B为任意两点，但 A、B 连线不得垂直于 x 轴(或 y 轴)1. 二力矩形式,2. 三力矩形式,,其中 A、B、C 为任意三点，但 A、B、C 三点不得共线当平面任意力系平衡方程用于平面汇交力系时：,,对力系汇交点总有：,∴ 只需,当平面任意力系平衡方程用于平面力偶系时：,总有：,∴ 只需,三、平面平行力系的平衡条件,平面平行力系：力系中各力作用线位于同一平面且相互平行设力系各力平于 y 轴：,即总有：,∴ 只需,可求解二各未知量则各力在 x 轴上的投影均为零，,,也可用二力矩形式：,其中 A、B 连线不得与各力平行。

例1 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A、 D连接于铅直墙上，如图所示已知杆AC=CB，杆DC与 水平线成45º角；载荷F=10kN，作用于B处设梁和杆的 重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力1. 取AB杆为研究对象；,3. 选坐标系，列平衡方程,解：,2. 作受力图；,SFx= 0 FAx +FC cos45º = 0,SFy= 0 FAy +FC sin45º – F = 0,SMA(F)= 0 FC cos45º·l – F·2l = 0,4. 求解,FC = 28.28kN,FAx = – 20kN,FAy = – 10kN,,例2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重P =2200 N，吊车 D、E连同吊起重物各重F1= F2=4000 N已知：l =4.3 m， a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m， a = 25º 试求A处的约束力，以及拉索 BH 的拉力解：,1.取伸臂AB为研究对象,2.受力分析如图,3.选如图坐标系，列平衡方程,SFx= 0 FAx – FB cosa = 0,SFy= 0 FAy–F1–P– F2+FB sina = 0,SMA(F)= 0,4.联立求解,FB = 12456 N FAx = 11290 N FAy = 4936 N,例3 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN， M =1.2 kN·m，l1=1.5 m，l2=2.5 m。

试求支座A及支座B的约束力1. 取梁为研究对象,解：,2. 受力分析如图,3. 选坐标系，列平衡方程,SFx= 0 FAx – F2 cos60º = 0,SFy= 0 FAy+ FB –F1–F2 sin60º= 0,SMA(F)= 0,FBl2–M –F1l1–F2 sin60º(l1+l2) = 0,4. 求解,FB = 3.56 kN FAx = 0.75 kN FAy = – 0.261k N,例4 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设梁上受分布集度为 q 的均布载荷作用，在自由端 B 受一集中力F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为 l试求固定端的约束力2.受力分析如图,1. 取梁为研究对象,解：,3. 选坐标系，列平衡方程,SFx= 0 FAx – F cos45º = 0,SFy= 0 FAy – ql –F sin45º= 0,SMA(F)= 0,MA– ql·l/2 – F cos45º·l + M = 0,4. 求解,FAx = 0.707 F FAy = ql+ 0.707F,解：,1.取梁AB为研究对象,2.受力分析如图,其中F=q×AB=300 N，作用在AB的中点C处。

3.选坐标系，列平衡方程SFx= 0 FAx = 0,SFy= 0 FAy – F +FD = 0,SMA(F)= 0,例5 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度 (即梁的每单位长度上所受的力)q = 100 N/m，力偶矩 M = 500 N·m长度AB =3m，DB =1m 试求活动铰支座 D 和固定铰支座A的约束力例5 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度 (即梁的每单位长度上所受的力)q = 100 N/m，力偶矩 M = 500 N·m长度AB =3m，DB =1m 试求活动铰支座 D 和固定铰支座A的约束力3.选坐标系，列平衡方程SFx= 0 FAx = 0,SFy= 0 FAy – F +FD = 0,SMA(F)= 0,4.联立求解,FD= 475 N FAx= 0 FAy= –175 N,例6 某飞机的单支机翼重 G=7.8 kN飞机水平匀速直线飞行时， 作用在机翼上的升力 F = 27 kN，力的作用线位置如图示， 其中尺寸单位是mm试求机翼与机身连接处的约束力解：,1.取机翼为研究对象,2.受力分析如图,3.选坐标系，列平衡方程。

SFx= 0 FAx = 0,SFy= 0 FAy – G +F = 0,SMA(F)= 0,4.联立求解,FAx=0 N FAy=-19.2 kN MA=-38.6 kN·m (顺时针）,例7 塔式起重机如图所示机架重G1=700 kN，作用线通过塔架的中心 最大起重量G2=200 kN，最大悬臂长为12 m，轨道AB的间距为4 m 平衡荷重G3到机身中心线距离为6 m试问： (1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少? (2)若平衡荷重G3=180kN，求满载时轨道A，B给起重机轮子的约束力？,解：,1.取起重机为研究对象,2.受力分析如图,SMB(F)= 0,3.列平衡方程,SMA(F)= 0,G3×(6+2)+G1×2–G 2×(12-2) – FA×4 = 0,G3×(6 –2) –G1×2–G 2×(12+2)+FB×4= 0,4. 起重机不翻倒时平衡荷重G3,(1) 满载时(G2=200 kN)不绕B点翻倒,应有FA≥0，即,临界情况下为FA=0，可得G3min,8G3min+2G1–10G 2= 0,∴ G3min= 75 kN,(2) 空载时(G2=0)不绕A点翻倒,应有FB≥0，即,临界情况下为FB=0，可得G3max,2G1– 4G3max= 0,∴ G3max= 350 kN,∴有 75 kN ＜ G3 ＜ 350 kN,5.取G3=180kN，求满载(G2=200 kN) 时轨道A，B对起重机的约束力FA、 FB。

210 kN,= 870 kN,§4–5 静定与静不定问题的概念,汇交力系,未知力数：,平衡方程：,平行力系,未知力数：,平衡方程：,F1、F2,FA、FB,任意力系,未知力数：,平衡方程：,FAx、Fay、MA,静定问题： 未知力数 ≤ 静力平衡方程数,汇交力系,未知力数：,平衡方程：,平行力系,未知力数：,平衡方程：,、F3,、FC,F1、F2,FA、FB,任意力系,未知力数：,平衡方程：,FAx、FAy、MA,、FB,,,在静定问题上再加上多余约束，则成为静不定问题此时仅由静力平衡方程不能求解全部未知量静不定问题(超静定问题)： 未知力数 静力平衡方程数,须建立补充方程求解，在材料力学中研究注意：实际中多余约束可提高结构的强度、刚度、稳定性，并 不多余多余约束只是针对结构平衡而言是多余的如：,物系外力：物系外其他物体对物系的作用力叫物系外力刚体系：由若干个刚体通过约束所组成的系统又称为物系§4–4 刚体系的平衡,物系内力：物系内部各物体之间的相互作用力叫物系内力如：主动力、约束力如：左图中AC杆与CE杆在C铰链处的相互作用力物系平衡的特点：,① 物系静止,② 物系平衡时，其中每一物体也处于平衡状态，满足各自的 平衡条件。

③ 对每一物体都可列出相应的独立平衡方程，其总和即为物 系具有的独立平衡方程的数目设物系由 n 个物体组成，每个物体均受平面任意力系作用， 其平衡方程数为 3，则物系的独立平衡方程数为 3n 个，可求 解 3n 个未知量当物系中某些物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，其平衡方程数应相应减少若物系未知量数不多于物系的独立平衡方程数时，为静定问题，否则为静不定问题未知力数：,平衡方程数：3×2=6,FAx、FAy、MA、 FCx、FCy、FB,未知力数：,∴ 为静定问题FAx、FAy、MA、 FCx、FCy、 FBx、FBy,平衡方程数：3×2=6,∴ 为静不定问题对静定问题，可列出每一物体的平衡方程，再组成方程组联立求解，但常要进行较繁的数学运算在解题时，若能选取适当的研究对象，列出必须足够的平衡方程，可使运算过程简便求解物系平衡问题的一般方法：,例7 如图所示为曲轴冲床简图，由轮I，连杆AB和冲头B组成 A，B两处为铰链连接。