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三角函数 一、任意角 1. 角的概念的推广 ⑴“旋转〞形成角 ABαO ⑵“正角〞与“负角〞“0 角〞 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角， 把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以 OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660° 2100 -1500 6600 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角记法：角或 可以简记成 2. “象限角〞 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角〔角的终边落在坐标轴上，那么此角不属于任何一个象限〕 3. 终边相同的角 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合ZkkS,360| 二、弧度制 1. 定义： 长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是 rad， 读做弧度，这种用“弧度〞做单位来度量角的制度叫做弧度制． 说明： 〔1〕正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0 〔2〕角 的弧度数的绝对值公式：lr 〔l 为弧长， r 为半径〕 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360＝2 rad ∴180＝ rad ∴ 1＝radrad01745. 0180 '185730.571801rad 3. 两个公式 1〕弧长公式： rl 由公式：rl  rl 比公式180rnl简单 弧长等于弧所对的圆心角〔的弧度数〕的绝对值与半径的积 2〕扇形面积公式 lRS21 其中l是扇形弧长，R是圆的半径 4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π 5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 任意角的集合 实数集 R 三、任意角三角函数的定义 1. 设是一个任意角，在的终边上任取〔异于原点的〕一点 P〔x，y〕 那么 P 与原点的距离02222yxyxr ry)(x, 〔1〕把比值ry叫做的正弦 记作： rysin 〔2〕把比值rx叫做的余弦 记作： rxcos 〔3〕把比值xy叫做的正切 记作： xytan 上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即Z)(2kk时，终边上任意一点P的横坐标x都为 0，所以 tan无意义； 它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域： rysin R rxcos R xytan Zkk ,2| 2. 三角函数的符号 sin为正 全正 tan为正 cos为正 3. 终边相同的角的同一三角函数值相等 例如 390°和－330°都与 30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即 sin390°＝sin30° cos390°＝cos30° sin〔－330°〕＝sin30° cos〔－330°〕＝cos30° 诱导公式一〔其中Zk〕: 用弧度制可写成 sin)360sin( k sin)2sin( k cos)360cos( k cos)2cos( k tan)360tan( k tan)2tan( k 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0～2π间角的三角函数值问题 4. 三角函数的集合表示： sin1yyyMPrcos1xxxOMrtanyMPATATxOMOA P x y A 1 1 －1 －1 T O M 例 1. 在 0 到 360 度范围内，找出与以下各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)950 12' 例 2. 写出终边在y 轴上的角的集合〔用 0 到 360 度的角表示〕  例 3. 用集合的形式表示象限角 第一象限的角表示为{|k360<

有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线 有向线段的数量： 有向线段 AB 与有向直线 l 的方向相同或相反， 分别把它的长度加上正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量记为 AB 如图：AB＝3，BC＝2，CB＝－2 2、三角函数线的定义： sin1yyyMPrcos1xxxOMrtanyMPATATxOMOA 有向线段 MP、OM、AT 都称为三角函数线 〔二〕同角三角函数的关系 1. 公式：1cossin22 tancossin 2. 采用定义证明： 1cossincos,sin122222rxryryx且 tancossin)(22xyxrryrxryZkk时，当 〔三〕诱导公式 1、诱导公式一： sin)360sin( k cos)360cos( k tan)360tan( k〔其中Zk〕 用弧度制可写成 sin)2sin( k cos)2cos( k tan)2tan( k 〔其中Zk〕 诱导公式〔一〕的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º―360º之间角的正弦、余弦、 正切， 其方法是先在 0º―360º内找出与角终边相同的角， 再把它写成诱导公式 〔一〕的形式，然后得出结果。

2、诱导公式二： 用弧度制可表示如下： -sin180sin(） -sinsin( ） -cos180cos(） -coscos( ） tan180tan(） tantan( ） 3、诱导公式三： -sinsin( ） coscos( ） tantan( ） 4、诱导公式四： 用弧度制可表示如下： sin180sin(） sinsin( ） -cos180cos(） -coscos( ） tan180tan(） tantan( ） 5、诱导公式五： -sin360sin(） -sin2sin( ） cos360cos(） cos2cos( ） tan360tan(） tan2tan( ） 6、诱导公式六： sin〔90 〕 = cos cos〔90 〕 = sin. tan〔90 〕 = cot cot〔90 〕 = tan. sec〔90 〕 = csc csc〔90 〕 = sec 7、诱导公式七： sin〔90 +〕 = cos cos〔90 +〕 = sin. tan〔90 +〕 = cot cot〔90 +〕 = tan. sec〔90 +〕 = csc csc〔90+〕 = sec 例 1. 确定角α为何值时，下面的式子有意义。

〔1〕cosαtanα 〔2〕tan1 例 2. 178cos，求 sin、tan的值 例 5. 求以下各式的值： 〔1〕sin〔－34〕 ； 〔2〕cos〔－60º〕－sin〔－210º〕  稳固练习 1. sinα＋cosα＝231，且 0＜α＜π，那么 tanα的值为〔 〕 A. 33 B. 3 C. 33 D. 3 2. 54cos53cos52cos5cos= 3. 求以下三角函数值： 〔1〕45sin； 〔2〕619cos； 〔3〕)240sin(； 〔4〕)1665cos( 五、三角函数的图象和性质 〔一〕三角函数的周期性 周期函数：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 说明： ①周期函数 x 定义域 M，那么必有 x+T M ②T 往往是多值的〔如 y=sinx 2 ,4 ,…,-2 ,-4 ,…都是周期〕周期 T中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期〔有些周期函数没有最小正周期〕 ；正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期，最小正周期是 2π 注：在本书中，如果不加以说明，周期都是指函数的最小正周期。

③ 2sin()sin33232sin()sin6323xxxxxx判断：（1）时则一定不是函数y=sinx的周期 （2）时则一定是函数y=sinx的周期 〔二〕三角函数的性质 1. 几何法作图 第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线和余弦线在直角坐标系的 x 轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成几等份，过圆上的各分点作 x 轴的垂线，可以得到对应于角6, 0，3，2,…，2π的正弦线及余弦线〔这等价于描点法中的列表〕 第二步：描点我们把 x 轴上从 0 到 2π这一段分成几等份，把角 x 的正弦线向右平行移动， 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合， 那么正弦线的终点就是正弦函数图象上的点 第三步：连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象 -11yx-6-565-4-3-2-0432f x  = sin x  将 y=sinx 的图象向左平移2即得 y=cosx 的图象 -11yx-6-565-4-3-2-0432f x  = cos x   2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图〔描点法〕 〔1〕正弦函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0) 〔2〕余弦函数 y=cosx x[0,2]的图象中，五个关键点是： (0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1) 3. 正弦函数的性质 〔1〕定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R 分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R 〔2〕值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 。

其中正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z 时，取得最大值 1 ②当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z 时，取得最小值－1 而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z 时，取得最大值 1 ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z 时，取得最小值－1 〔3〕周期性 正弦函数、 余弦函数都是周期函数， 2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期， 最小正周期是 2π 函数Rx),xsin(Ay 及函数Rx),xcos(Ay 〔其中 A，为常数，且0, 0A〕的周期 2T  〔4〕奇偶性 y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 〔5〕单调性 正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到 1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从 1 减小到－1 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1 增加到 1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从 1 减小到－1。

例 1、假设钟摆的高度 h(mm)与时间 t(s)之间的函数关系如下图 (1)求该函数的周期； 〔2〕求 t＝10s 时钟摆的高度 例 2、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足以下条件的 x 的集合： 21sin) 1 (x 21cos)2(x t /s h /mm  例 3、求以下函数的定义域： (1)y＝11 sin x (2)y＝xcos 稳固练习 1. 函数y＝2－sinx，x∈［0，π］的最大值为〔 〕 A. 0 B. 2－1 C. 2 D. 2243 2. 直接写出以下函数的定义域、值域： y＝xsin11 y＝xcos2 3. 函数 y＝ksinx＋b 的最大值为 2，最小值为－4，求 k，b 的值 4. 求cos()32xy的单调递增区间 5. 求函数 y＝－cosx 的单调区间  六、正切函数的图象和性质 1. 正切函数图象的作法 在2,2的区间作出它的图象 Rxxy tan，且zkkx2的图象，称“正切曲线〞 正切函数的性质： 1. 定义域：zkkxx,2| 2. 值域：R 3. 当zkkkx2,时0y，当zkkkx,2时0y 4. 周期性：T 5. 奇偶性：xxtantan奇函数 6. 单调性：在开区间zkkk2,2内，函数单调递增 七、函数 y=Asin〔ωx+φ〕 〔A>0 且 A1，ω>0〕 的图象 〔一〕函数图象的三种变换 1. 振幅变换 y=Asinx，xR〔A>0 且 A1〕的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的 A 倍而得到。

A 称为振幅〔物体振动时离开平衡位置的最大距离〕 2. 周期变换:函数 y=sinωx，xR〔ω>0 且ω1〕的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标变到原来的1倍〔纵坐标不变〕 ω决定了函数的周期 3. 相位变换: 函数 y＝sin〔x＋〕 ，x∈R〔其中≠0〕的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左〔当＞0 时〕或向右〔当＜0 时〕平行移动｜｜个单位长度而得到 例 1. 比拟413tan与517tan的大小 例 2. 求函数33tanxy的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性  稳固练习 1. 判断正误 ①y＝Asinωx 的最大值是 A，最小值是－A ②y＝Asinωx 的周期是2 ③y＝-3sin4x 的振幅是 3，最大值为 3，最小值是-3 2. 函数 y＝tan〔ax＋6〕 〔a≠0〕的最小正周期为〔 〕 aaaaD. ||C. ||2B. 2A. 3. 函数 y＝Asin〔ωx＋〕 〔A＞0，ω＞0， 0＜＜2π＝图象的一个最高点是〔2，3〕 ，由这个最高点到相邻最低点的图象与 x 轴交于点〔6，0〕 ，试求函数的解析式。

4. 如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin〔ωx+φ〕+B 〔1〕求这段时间的最大温差； 〔2〕写出这段曲线的函数解析式  八、两角和与差的余弦 设向量)sin(cos1，OPa )sin(cos2，OPb 所以)cos()cos(||||baba 又sinsincoscosba 所以 sinsincoscos)cos( 以代得：sinsincoscos)cos( 两角和与差的余弦公式: sinsincoscos)cos( sinsincoscos)cos( 九、两角和与差的正弦 sin(+)＝cos[2(+)]＝cos[(2)] ＝cos(2)cos+sin(2)sin ＝sincos+cossin 即：sincoscossin)sin( S〔+〕 以代得：sincoscossin)sin( S〔〕 两角和与差的正弦公式  sincoscossin)sin( sincoscossin)sin( 十、两角和与差的正切 tan(+)公式的推导 ∵cos (+)0 tan(+)＝sinsincoscossincoscossin)cos()sin( 当 coscos0 时, 分子分母同时除以 coscos得： tantan1tantan)tan( 以代得：tantan1tantan)tan( 其中,,,,RR都不等于Zkk,2 两角和与差的正切公式 tantan1tantan)tan( tantan1tantan)tan(  小结：两角和与差的正、余弦、正切公式 sinsincoscos)cos( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( sincoscossin)sin( tantan1tantan)tan( tantan1tantan)tan( 例 1. 计算① cos105 ②cos15 ③cos5cos103sin5sin103  例 2. sin(+)＝32,sin()＝52 求tantan的值 稳固练习 1. 2, 0x，求函数)125cos()12cos(xxy的值域 2. 求20cos20sin10cos2的值 十一、二倍角公式的推导 在公式)(S，)(C，)(T中，当时，得到相应的一组公式： cossin22sin；)(2S 22sincos2cos；)(2C  2tan1tan22tan；)(2T 因为1cossin22，所以公式)(2C可以变形为 1cos22cos2或 2sin212cos)(2C 公式)(2S，)(2C，)(2C，)(2T统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。

二倍角公式 cossin22sin 2222sin211cos2sincos2cos 2tan1tan22tan 注意： 〔1〕二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题 〔2〕二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角〞的意义是相对的 〔3〕二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式 〔4〕熟悉“倍角〞与“二次〞的关系〔升角—降次，降角—升次〕 〔5〕特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos1sin,22cos1cos22 这两个形式今后常用 几个三角恒等式 1、积化和差公式的推导 sin( + ) + sin(  ) ＝ 2sincos  sincos ＝12[sin( + ) + sin(  )] sin( + )  sin(  ) ＝ 2cossin  cossin ＝12[sin( + )  sin(  )] cos( + ) + cos(  ) ＝ 2coscos  coscos ＝12[cos( + ) + cos(  )] cos( + )  cos(  ) ＝  2sinsin  sinsin ＝ 12[cos( + )  cos(  )]  2、和差化积公式的推导 假设令 +  ＝ ，   ＝ φ，那么2，2 代入得： )sin(sin21)]22sin()22[sin(212cos2sin ∴2cos2sin2sinsin 2sin2cos2sinsin 2cos2cos2coscos 2sin2sin2coscos 例 1. ),2(,135sin，求 sin2，cos2，tan2的值。

例 2. 求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值 例 3. 假设 270°＜α＜360°，那么2cos21212121等于 〔 Ｄ 〕 A. sin2 B. cos2 C. －sin2 D. －cos2  稳固练习 1、不查表，求以下各式的值 〔1〕)125cos125)(sin125cos125(sin （2）2sin2cos44 （3）tan11tan11 （4）2coscos212 2、求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320° 3、化简：cos20cos40cos80 4、化简以下各式： 〔可直接写答案〕 〔1〕4cos4sin4 〔2〕40tan140tan2 〔3〕2sin2157.5  1 ＝ 〔4〕125sin12sin 课后作业 一、选择题 1、0105sin的值为〔 〕 A、32  B、32  C、426  D、426  2、假设0cos , 0tanxx，那么 2x在〔 〕 A、第一、二象限 B、第三、四象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限 3、在ABC中，030,23,6Aba那么 B 为〔 〕 A．450 B、600 C、600或 1200 D 450 或 1350 4、, 为锐角，1010sin 55sin那么 为〔 〕 A、450 B、1350 C、2250 D、450或 1350 5、030 6, 8Cba且那么ABCS为〔 〕 A、48 B、24 C、316 D、324 6、在ABC中，0coscosAbBa那么这个三角形为〔 〕 A、直角三角形 B、锐角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形、 7、以下与)45sin(0x相等的是〔 〕 A、)45sin(0x B、)135sin(0x C、)135cos(0x D、)135sin(0x 8、在ABC中，假设222cba那么ABC一定为〔 〕 A．直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 10、假设)sin(2sincosxxx，那么tan为〔 〕 A、 1 B、－１ C、22 D、22 二、填空题 11、0075sin15sin= 12、在△ABC中，54cosA，那么A2sin 13、在ABC中，则 7c , 3, 2baABC的面积为 14 在，则三角形的最大角为中，已知7 , 5 , 3cbaABC 度 15、在△ABC中，0222abcba，那么 C= 。

16、31)4sin( x，24 x，那么 )4sin(x 17、sincosyx 那么yx 的最大值为 18、在ABC中，2cossinBB，那么那么内角 B = 19、直线22:xyl，那么直线l绕着它与x轴的交点旋转 450后的直线的斜率为 20、计算)32cos(2sin3cos= 三、解以下各题 21 计算12sin12cos 22、 ， 23 54sin，求：)4 tan(的值 23、在△ABC中，A=4，AC=1，△ABC的面积为21，求BC边的长 24、假设135)cos(,54sin〔,为第一象限角〕 求cos的值  25． 假设角的终边经过点 P〔-3，4〕 ，求)3sin(和2sin+2cos的值． 26、在△ABC中， ：25sinsinCA，060B，△ABC的面积为310，求AC的长 27． 在ABC中，角 A、C、B 成等差数列，5b，4a，求： 〔6 分〕 (1)c的长； (2)ABC的面积. 。