浅谈数学家怀尔德在拓扑学上的主要贡献.docx

浅谈数学家怀尔德在拓扑学上的主要贡献 关键词：位置分析怀尔德;莫尔拓扑流形雷蒙德路易斯怀尔德是20世纪美国著名的拓扑学家，在数学文化领域也卓有建树他一生的教学与研究工作主要集中在两大方面，一是纯粹数学的拓扑学研究;二是对数学基础、历史、哲学和人类学的思考在拓扑学的研究上，怀尔德做出了极为突出的成果，他是美国科学院院士（1963)，并担任过美国数学会（AMS，1955—1956)和美国数学协会（MAA，1965—1966)的主席怀尔德是美国德州拓扑学派的重要一员，还曾是普林斯顿高等研究院建院之初最早的几位拓扑学家之一，与诸多拓扑名家一起从事过研究，他后来在密歇根大学领导的密歇根拓扑学派在美国非常知名1、怀尔德学习拓扑之路1896年11月3日，怀尔德出生于美国马萨诸萨州中西部的汉普登市（Hampden City)少年时，他在当地求学，喜爱音乐并曾在家庭舞会和聚会上演奏过短号，在钢琴上的天赋极高终其一生，怀尔德保持了对音乐创作的热爱，并时常沉迷于古典音乐1914年，怀尔德进入布朗大学学习，想要成为一名保险精算师由于美国参加第一次世界大战的缘故，他作为一名少尉服了两年兵役（1917—1919)，并于1920年取得学士学位。

毕业后怀尔德留校任教，同时继续攻读研究生1921年，怀尔德获得了保险精算数学的硕士学位随后，怀尔德到以保险精算闻名的德克萨斯州立大学奥斯汀分校任教，继续开展这方面的研究与教学在奥斯汀分校，怀尔德像一个本科生一样开始享受“纯粹数学”带来的乐趣当时著名数学家莫尔（R.L. Moore)在那里主持了一个“位置分析”（Analysis Situs，即拓扑学)的讨论班，怀尔德对此十分着迷[2]莫尔是芝加哥大学毕业的博士，他的导师是著名的数学家E莫尔（E.H. Moore)和维布伦莫尔在拓扑学研究和人才培养方面成就卓著，其著名的教学方法是从几个有限的公理和定义开始，然后他会提出定理，让参与者来寻求证明[3]莫尔在奥斯汀分校培养了47个博士，他和追随者们被称为德州拓扑学派，与美国当时的普林斯顿拓扑学派交相辉映怀尔德请求参加莫尔的位置分析讨论班，但却遭到了对方的质疑经过积极争取，怀尔德终于被允许参加讨论班，他非常珍惜这次机会，努力学习并证明了一个比较难的命题，逐渐得到了莫尔的注意与青睐莫尔习惯于以作业为幌子，将一些未解决的数学难题发给学生当怀尔德对于莫尔本人以及他在宾夕法尼亚大学的博士生、美国数学家克莱因（J.R.Kline)正在着手解决的一个关于连续曲线的数学问题，给出了更为简洁的证明方案之后，莫尔邀请他赶紧将它写成博士学位论文。

在莫尔的指导下，怀尔德于1923年6月以“关于连续曲线”（Concerning Continuous Curves)为题完成了博士论文答辩至此，怀尔德放弃了原先追求的保险精算事业，开始以拓扑学作为自己主要的研究领域2、对拓扑学的主要贡献怀尔德是莫尔在德州大学奥斯汀分校培养的第一位拓扑学的博士当怀尔德开始学习和研究拓扑学时，正值拓扑学蓬勃发展的时期怀尔德在此时进入这一领域，可谓赶上了拓扑学的黄金时代，他一生共发表论著百余篇，其中拓扑学占据了一半以上按照时间划分，怀尔德的拓扑学研究大致可以分为两个时期第一个时期为1924—1930年，这一时期怀尔德主要沿着导师莫尔开创的德州学派的路线研究点集拓扑，致力于连续曲线与连续理论的研究第二个时期为1930—1950年，怀尔德主要研究高维拓扑与流形的拓扑理论，他给出了球面的拓扑刻画，若尔当—布劳威尔定理的存在性以及广义流形的理论实际上，即使在1950年后，怀尔德仍发表了相当数量的拓扑学论文我们将选取以下几个主题和一些重要的论文来概述怀尔德在拓扑学上的主要贡献2.1 平面点集拓扑怀尔德最开始的研究兴趣集中于平面点集拓扑从1924年开始，他对集合的连续体、连通性等问题进行了细致研究。

在博士论文中，怀尔德证明一个紧的连续体局部连通当且仅当一个开集的连通分支强连通1921年，波兰数学家谢尔宾斯基与克纳斯特（Knaster)、库拉托夫斯基等提出了一个问题：对于点P，是否存在具有非退化的拟分支的集合N，使得N∪{P}全连通但不包含非退化的拟分支1927年，怀尔德构造出了符合条件的一个极其复杂的例子1929年，怀尔德定义了拟闭曲线，他证明如果M连通并且局部连通，则M是单闭曲线当且仅当M是一条拟闭曲线他还说明对于局部紧的连续体，遗传的局部连通性等价于它的每个分支或者是强连通或者是弧连通莫尔曾给出过一个连通、局部连通、非退化连通但不弧连通的集合，怀尔德也曾给出一个这样的集合1928年，怀尔德证明了对于m维欧氏空间Em的子集两点之间不可约连通，如果其局部连通则弧连通1931年，怀尔德又证明了对于连续体M，如果a，b∈M，并且对于每个分离a和b的p∈M[a，b]，则M弧连通2.2 统一位置分析1926年到密歇根大学任教后，怀尔德在讨论班上学到了拓扑学家亚历山大在1922年发表的一篇论文在这篇文章中，亚历山大证明了著名的对偶定理这个定理在今天看起来并不是特别困难，但那时上同调、相对同调、杯积、正合列、同伦论尚未问世，因此有一定的难度。

受此激发，怀尔德的研究兴趣开始转向用代数方法研究流形理论怀尔德从舍恩弗里斯（Schoen flies)和布劳威尔关于若尔当曲线定理的高维推广及其逆定理出发，解决了3维欧氏空间中两个球面的情形1930年，怀尔德又从补域的同调条件得到了3维空间中若尔当分离定理的逆定理1932年，怀尔德在芝加哥作了美国数学会的研讨会报告当时美国有两个大的拓扑学派，一个是莫尔开创的德州点集拓扑学派，另一个是普林斯顿的组合拓扑学派怀尔德逐渐从德州学派“脱离”，在这次报告中，他通过将集合论与组合拓扑的方法结合，将平面上的一些定理推广到n维空间，展示了如何在高维空间中使用同调论不仅如此，他还意识到了两个学派各自的不足，这在当时是非常难得的1933年，普林斯顿高等研究院成立在范因大楼中，著名的拓扑学家维布伦、亚历山大、莱夫谢兹、范坎彭（Van Kam pen)、塔克（Tucker)、齐平（Zip pin)等经常在走廊里散步，怀尔德也是其中的常客之一，这也可以看作是对怀尔德当时在拓扑学界学术地位的一个证明那时拓扑学家已经发明了多种同调理论来处理一般空间和它们的子集，但拓扑学仍处于多面体的范畴之中，广义流形以及使用更抽象的同调术语来构造拓扑空间尚没有形成。

怀尔德在拓扑学的这次转变中做出了重要贡献2.3 位置拓扑不变量怀尔德有相当一部分论文研究的是“位置不变量”，即嵌入空间S中的空间M独立于嵌入的性质例如，Sn中Sn-1补域的局部一致连通性（uniformly locally connected，简称ulc)在Sn-1的同胚下保持不变局部一致连通用可以用同调的语言来表示，考虑S2中若尔当曲线定理，D为其中的一个区域D局部一致连通意味着给定S2中一个有限开覆盖μ，存在一个有限开覆盖υ使得对于每一个U∈μ，存在V∈υ使得H0（D∩V)→H0（D∩U)是平凡的通过同调定义i-ulc与ulcr，可以将局部一致连通推广到高维①i-ulc，同胚映射导出的Hi（D∩V)→Hi（D∩U)是平凡的②ulcr是i-ulc，对于所有的0≤i≤r怀尔德证明了如果Mn-1是Sn中的闭广义流形，则M的两个补域都是ulcn-1反过来，怀尔德还证明了如果球面的子集M是最少两个域的公共边界，其中的一个域为ulcn-2，则M是一个可定向的闭维广义流形更进一步，如果S是一个可定向的n维广义流形使得H1（S)是平凡的，并且U是一个具有连通边界B的ulcn-2的域，则B为一个可定向的n-1维广义流形，这篇论文发表在久负盛名的美国《数学年刊》上，极大地推广了莫尔的一个定理。

1924年，亚历山大给出了著名的带角球（亚历山大带角球)的例子，使得舍恩弗里斯定理推广到高维不再成立，即补域是ulc1，但它们不是局部单连通1-ulc在仅有同调论的工具下，亚历山大认为补域很坏是有一定道理的然而怀尔德在1933年证明，如果U是Sn的一个开子集并且M=U-U自由变形到U，则M为一个n-1维广义流形2.4 流形的拓扑学1942年，怀尔德在美国数学会上作了讲座，由于第二次世界大战的缘故，他的报告直到1949年才以《流形的拓扑》为题出版这部著作共有402页，在前半部分主要是平面拓扑，他以舍恩弗里斯纲领开始：设M为一个2维球面，K为M的一个闭子集如果K是一条单闭曲线（1维球面的拓扑像)，则M-K是两个不相交的连通开集A与B的并，使得K=A∩B可知每个集合A与B同胚于一个闭圆盘实际上，使得K是一条单闭曲线或佩亚诺空间的关于M-K充分必要条件的逆定理也存在怀尔德在这本著作中的主要目标是将舍恩弗里斯定理推广到高维，他的主要工具是同调论他用n维广义流形代替M，K为满足特定连通与局部连通性质的闭集合在一些情形中，K本身即为一个低维流形在第一章中，怀尔德首先回顾了一般拓扑的一些概念，特别是关于连通性的概念。

第二章以局部连通的讨论开始，然后转移到n维球面的一些性质，通过关于K与M-K的模2贝蒂数的亚历山大对偶关系，怀尔德给出了布劳威尔分离定理，对若尔当曲线定理进行了推广之后，怀尔德开始证明舍恩弗里斯逆定理在第三章中，怀尔德详细讨论了佩亚诺空间，并将这些结果应用于2维球面，2维圆盘与2维流形在对局部连通进行了一系列的讨论后，第四章给出了2维球面S2闭子集K的位置性质，特别是为了使K为佩亚诺连续体，怀尔德给出了S2-K必须满足的充分必要条件从第五章开始，怀尔德引入了拓扑空间的切赫同调与上同调理论，给出了同调与上同调的对偶定理以及杯积理论在第六章中，切赫理论被局部化，并进而引出了局部连通的同调与上同调理论，局部一致连通以及相关的主题也被讨论第七章讨论连续，主要是对舍恩弗里斯纲领进行推广从第八章开始，怀尔德开始大幅讨论流形，他将n维广义流形定义为局部紧致的n维空间，它从0到n-1维都是局部连通的并且在它的每一个点都有等于1的n维局部贝蒂数对于这样的流形，定向的概念得到了定义对于可定向的流形，庞加莱对偶定理得到了证明在一些附加条件下，亚历山大对偶定理也建立起来了在接下来的章节中，怀尔德证明了当n=1，2时，一个分离的n维广义流形是一个经典流形。

但当n>2时，结果不再成立在最后三章中，怀尔德对n维广义流形M的闭子集K的位置性质进行了讨论他对K为n-1维广义流形和其逆的情形进行了研究，还对K在维数为从0到k（k2.5 单调映射定理进入到20世纪50年代以后，怀尔德的研究兴趣逐渐转入数学基础、数学史、数学哲学和数学文化等领域但是，他仍然没有放弃对拓扑学的研究1956年，怀尔德又证明了单调映射定理[24-25]：如果f：M→Y是从一个定向的广义流形M到豪斯道夫空间Y的满射，对于所有的y，f-1（y)是循环的，则Y是一个可定向的广义流形，f*是一个同构同调这个定理极大地推广了莫尔单调映射定理除此以外，怀尔德还对局部定向问题进行过研究[26]2.6 拓扑学史怀尔德对数学史有着很深刻的见解，特别是对他所研究的拓扑学的历史更是如数家珍他曾对整个拓扑学的发展进行了细致深入的历史研究[27]在组合拓扑方面，怀尔德高度评价了莱夫谢兹引入的有理系数链，因为有理系数的链不再符合几何直观，只有将其完全理解为一个代数对象，才能克服这个在今天看起来很平凡的困难而一旦意识到这一点，群论方法的引入就很自然了同调群的出现使得组合拓扑发展为代数拓扑对于点集拓扑，怀尔德指出舍恩弗里斯在若尔当曲线定理及其逆定理方面的工作被很多人忽略了，并没有受到。