2023年指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳总结全面汇总归纳全面汇总归纳全面超详细知识汇总全面汇总归纳全面汇总归纳.pdf

一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂：... ()nnaa a a nN 零指数幂：01(0)aa 负整数指数幂：1(0,)ppaapNa 分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mnmnaaam nNn且 负分数指数幂的意义是：11(0,,,1)mnmnmnaam nNnaa且 2、幂函数的定义 一般地，函数ayx叫做幂函数，其中 x 是自变量，a是常数(我们只讨论 a 是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数ayx 当1 1,,1,2,33 2a 时的图象见左图；当12, 1,2a    时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： ayx有下列性质： (1)0a 时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0,)上是增函数． (2)0a 时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0,)上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近． (3) 任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4) 任何幂函数图象都不经过第四象限； (5) 任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数) 1, 0(aaayx且称指数函数， 1）函数的定义域为 R； 2）函数的值域为), 0(； 3）当10 a时函数为减函数，当1a时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a. 5）抽象性质： ()( )( ),()( ) /( )f xyf xf yf xyf xf y 三、对数函数 如果baN（0a ，1a ），那么 b 叫做以 a 为底 N的对数，记作logaNb logbaaNNb（0a ，1a ，0N ）． 1．对数的性质  logloglogaaaMNMN． logloglogaaaMMNN． 当时的图象见左图当时的图象见上图由图象可知对于幂函数而言它们都具有下列性质有下列性质时图象都通过点在第函数在第一象限内图象向上与轴无限地接近向右与轴无限地接近任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点任何幂域为函数的值域为当时函数为减函数当时函数为增函数有两个特殊点零点不变点抽象性质三对数函数如果那么叫做以loglognaaMnM．（00MN，，0a ，1a ）（ a, b > 0 且均不为 1） 2．换底公式：logloglogmamNNa ( a > 0 , a  1 ；0,1mm) 常用的推论： （1）loglog1abba ； ． （2）loglogmnaanbbm （a、0b 且均不为 1） ．1logloglog1nmNNNaaamnnm． （3）， （4）对数恒等式． 一、对数函数的图像及性质 ① 函数logayx（0a ，1a ）叫做对数函数 ② 对数函数的性质：定义域：(0,)； 值域：R； 过点(1,0)，即当1x 时，0y ． 当0a 时，在（0，）上是增函数；当01a 时，在（0，）上是减函数． 二、对数函数与指数函数的关系 对数函数logayx与指数函数xya图像关于直线yx对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： ( )( )log, log( )( )f xbaaabf xbf xbf xa  （定义法） bmnbanamloglog1logloglogacbcba01loga1logaaNaNalog1oyx当时的图象见左图当时的图象见上图由图象可知对于幂函数而言它们都具有下列性质有下列性质时图象都通过点在第函数在第一象限内图象向上与轴无限地接近向右与轴无限地接近任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点任何幂域为函数的值域为当时函数为减函数当时函数为增函数有两个特殊点零点不变点抽象性质三对数函数如果那么叫做以( )( )( )( ), log( )log( )( )( )0f xg xaaaaf xg xf xg xf xg x（转化法） ( )( )( )log( )logf xg xmmabf xag xb (取对数法) 当时的图象见左图当时的图象见上图由图象可知对于幂函数而言它们都具有下列性质有下列性质时图象都通过点在第函数在第一象限内图象向上与轴无限地接近向右与轴无限地接近任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点任何幂域为函数的值域为当时函数为减函数当时函数为增函数有两个特殊点零点不变点抽象性质三对数函数如果那么叫做以。