2019年高考真题——数学(上海卷)+含答案.pdf

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1 （4 分）已知集合1A， 2，3，4， 5 ，3B， 5， 6 ，则 AB2 （4 分）计算22231lim41nnnnn3 （4 分）不等式 |1|5x的解集为4 （4 分）函数2( )(0)f xxx的反函数为5 （4 分）设 i 为虚数单位，365zii ，则 |z 的值为6 （4 分）已知22214xyxa ya，当方程有无穷多解时，a的值为7 （5 分）在61()xx的展开式中，常数项等于8 （5 分）在ABC 中，3AC， 3sin2sinAB，且1cos4C，则AB9 （5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参加连续5 天的志愿者活动，其中甲连续参加2 天，其他人各参加1 天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）10 （5 分）如图， 已知正方形OABC ，其中(1)OAa a，函数23yx 交 BC 于点P，函数12yx交AB于点 Q ，当 |AQCP 最小时，则a的值为11 （5 分）在椭圆22142xy上任意一点P， Q 与P关于x轴对称，若有121F P F P,，则1F P 与2F Q 的夹角范围为12 （5 分）已知集合At ，14tt，9t， 0A ，存在正数，使得对任意aA ，都有Aa，则 t 的值是二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分）13 （5 分）下列函数中，值域为0 ，) 的是 ()A2xyB12yxCtanyxDcosyx14 （5 分）已知a、 bR ，则“22ab ”是“ | |ab ”的 ()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件15 （5 分）已知平面、两两垂直，直线a、 b 、c满足： a， b，c，则直线a、 b 、c不可能满足以下哪种关系()A两两垂直B两两平行C两两相交D两两异面16 （5 分）以1(a ， 0) ，2(a ， 0) 为圆心的两圆均过(1,0) ，与y轴正半轴分别交于1(y ， 0) ，2( y ， 0) ，且满足120lnylny，则点1211(,)aa的轨迹是 ()A直线B圆C椭圆D双曲线三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+1876 分）17 （14 分）如图，在正三棱锥PABC 中，2,3PAPBPCABBCAC（1）若PB的中点为M， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角；（2）求 PABC 的体积18 （14 分）已知数列na，13a，前n项和为nS （1）若 na为等差数列，且415a，求nS ；（2）若 na为等比数列，且lim12nnS，求公比q的取值范围19 （14 分）改革开放40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012 年2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比年份卫生总费个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出用（亿元）绝对数（亿元）占卫生总费用比重 (%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45 （数据来源于国家统计年鉴）（1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t表示 1978 年，第n年卫生总费用与年份t 之间拟合函数6.4420 0.1136357876.6053( )1tf te研究函数( )f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12 万亿的年份20 （16 分）已知抛物线方程24yx ，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q 为线段PF与抛物线的交点，定义：|()|PFd PFQ（1）当8( 1,)3P时，求()d P ；（2）证明：存在常数a，使得 2 ()|d PPFa ；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223| |PPP P ，判断13()()d Pd P与22 ()d P的关系21 （18 分）已知等差数列na的公差(0d， ，数列 nb满足sin()nnba，集合*|,nSx xb nN（1）若120,3ad，求集合 S；（2）若12a，求 d 使得集合 S恰好有两个元素；（3）若集合 S恰好有三个元素：nTnbb ，T是不超过7 的正整数，求T的所有可能的值2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1 （4 分）已知集合1A， 2，3，4，5，3B， 5，6，则AB3，5【解答】 解：集合1A，2，3，4， 5 ，3B， 5， 6 ，3AB， 5 故答案为：3 ， 5 2 （4 分）计算22231lim41nnnnn2 【解答】 解：2222312231limlim241411nnnnnnnnnn故答案为： 23 （4 分）不等式 |1|5x的解集为( 6,4)【解答】 解：由 |1|5x得515x，即64x故答案为： 6 ， 4) 4 （4 分）函数2( )(0)f xxx的反函数为1( )(0)fxx x【解答】 解：由2(0)yxx解得 xy ，1( )(0)fxx x故答案为1f( )(0)xx x5 （4 分）设 i 为虚数单位，365zii ，则 |z 的值为【解答】 解：由 365zii ，得 366zi ，即22zi ，22| |222 2zz故答案为：2 2 6 （4 分）已知22214xyxa ya，当方程有无穷多解时，a的值为2【解答】 解：由题意，可知：方程有无穷多解，可对2，得： 442xy再与式比较，可得：2a故答案为：27 （5 分）在61()xx的展开式中，常数项等于15 【解答】 解：61()xx展开式的通项为36216rrrTC x令3902r得2r，故展开式的常数项为第3 项：2615C故答案为： 158 （5 分）在ABC 中，3AC， 3sin2sinAB，且1cos4C，则AB10【解答】 解：3sin2sinAB ，由正弦定理可得：32BCAC ，由3AC，可得：2BC，1cos4C，由余弦定理可得：2221324232AB，解得：10AB故答案为：10 9 （5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参加连续5 天的志愿者活动，其中甲连续参加2 天，其他人各参加1 天，则不同的安排方法有24 种（结果用数值表示）【解答】 解：在五天里，连续的2 天，一共有4 种，剩下的3 人排列，故有33424A种，故答案为： 2410 （5 分）如图， 已知正方形OABC ，其中(1)OAa a，函数23yx 交 BC 于点P，函数12yx交AB于点 Q ，当 |AQCP 最小时，则a的值为3【解答】 解：由题意得：P点坐标为(3a，)a ， Q 点坐标为1( ,)aa，11|233aAQCPa，当且仅当3a时，取最小值，故答案为：3 11 （5 分）在椭圆22142xy上任意一点P， Q 与P关于x轴对称，若有121F P F P,，则1F P 与2F Q 的夹角范围为1arccos3，【解答】 解：设( , )P x y ，则 Q 点 ( ,)xy ，椭圆22142xy的焦点坐标为(2 ， 0) ， (2 ， 0) ，121F P F P,，2221xy ,，结合22142xy可得：21y， 2故1F P 与2F Q 的夹角满足：222122222 22122238cos3 122(2)8F P F QxyyyyF PF Qxyx，13故1arccos3，故答案为：1arccos3，12 （5 分）已知集合At ，14tt，9t， 0A ，存在正数，使得对任意aA ，都有Aa，则 t 的值是1 或3【解答】 解：当0t时，当at ，1t时，则4ta，9t，当4at，9t时，则ta，1t，即当 at 时，9ta,；当9at时，ta ，即(9)t t；当1at时，4ta，当4at时，1ta,，即(1)(4)tt，(9)(1)(4)t ttt，解得1t当104tt时，当at ，1t时，则ta，1t当4at，9t，则4ta，9t，即当 at 时，1ta,，当1at时，ta ，即(1)t t，即当4at时，9ta,，当9at时，4ta，即(4)(9)tt，(1)(4)(9)t ttt，解得3t当90t时，同理可得无解综上， t 的值为 1 或3故答案为： 1 或3二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分）13 （5 分）下列函数中，值域为0 ，) 的是 ()A2xyB12yxCtanyxDcosyx【解答】 解：A，2xy的值域为 (0,) ，故A错B， yx 的定义域为 0 ，) ，值域也是 0 ，) ，故B正确C ，tanyx的值域为 (,) ，故 C 错D，cosyx的值域为 1，1 ，故D错故选：B14 （5 分）已知a、 bR ，则“22ab ”是“ | |ab ”的 ()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【解答】 解：22ab 等价，22|ab，得“ | |ab ” ，“22ab ”是“ | |ab ”的充要条件，故选： C 15 （5 分）已知平面、两两垂直，直线a、 b 、c满足： a， b，c，则直线a、 b 、c不可能满足以下哪种关系()A两两垂直B两两平行C两两相交D两两异面【解答】 解：如图1，可得a、 b 、c可能两两垂直；如图 2，可得a、 b 、c可能两两相交；如图 3，可得a、 b 、c可能两两异面；故选：B16 （5 分）以1(a ， 0) ，2(a ， 0) 为圆心的两圆均过(1,0) ，与y轴正半轴分别交于1(y ， 0) ，2( y ， 0) ，且满足120lnylny，则点1211(,)aa的轨迹是 ()A直线B圆C椭圆D双曲线【解答】 解：因为221111|1|raay，则21112ya ，同理可得22212ya，又因为120lnylny，所以121y y，则12(12)(12)1aa，即12122a aaa ，则12112aa，设1211xaya，则2xy为直线，故选：A三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+1876 分）17 （14 分）如图，在正三棱锥PABC 中，2,3PAPBPCABBCAC（1）若PB的中点为M， BC 的中点为 N ，求 AC 与 MN 的夹角；（2）求 PABC 的体积【解答】 解： （ 1）M， N 分别为PB， BC 的中点，/ /MNPC ，则PCA 为 AC 与 MN 所成角，在PAC中，由2PAPC，3AC，可得22233cos24223PCACPAPCAPC AC，AC 与 MN 的夹角为3arccos4；（2）过P作底面垂线，垂直为O ，则 O 为底面三角形的中心，连接 AO 并延长，交BC 于 N ，则32AN，213AOAN22213PO1133333224P ABCV18 （14 分）已知数列na，13a，前n项和为nS （1）若 na为等差数列，且415a，求nS ；（2）若 na为等比数列，且lim12nnS，求公比q的取值范围【解答】 解： （ 1）4133315aadd，4d，2(1)3422nn nSnnn 。