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数学论文根号与平方根与立方根 现在，我们都习以为常地使用根号，并感到它使用起来既简明又方便那么，根 号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？ 古时候，埃及人用记号 “┌”表示平方根印度人在开平方时，在被开方数的前面 写上 ka 1840 年前后，德国人用一个点 “. ”来表示平方根， 两点“ ”表示 4 次方根， 三个点 “. ”表示立方根，比如 ,.3、3、.3 就分别表示 3 的平方根、 4 次方根、 立方根到十六世纪初，可能是书写快的缘故， 小点上带了一条细长的尾巴 1525 年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写4 是 2， 9 是 3， 并用 8， 8 表示 ， 但是这种写法未得到普遍的认可与采纳 与此同时，有人采用 “ 根” 字的拉丁文 radix 中第一个字母的大写R 来表示开方运 算，并且后面跟着拉丁文“ 平方” 一字的第一个字母q，或“ 立方” 的第一个字母 c， 来表示开的是多少次方例如，现在的，当时有人写成R.q.4352 现在的， 用数学家邦别利（ 1526—1572 年）的符号可以写成R.c.?7p.R.q.14╜,其中 “?╜” 相当于今天用的括号， P 相当于今天用的加号（那时候，连加减号“+”“-” 还没有 通用）。

直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596 —1650 年）第一个使用了现今用的根 号“ ”在一本书中，笛卡尔写道：“ 如果想求某数的平方根，就写作，如果想求 某数的立方根，则写作 这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆， 笛卡尔就用 一条横线把这几项连起来，前面放上根号√ （不过，它比路多尔夫的根号多了一 个小钩）就为现在的根号形式 现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪， 才在一书中看到符号3^√ 的使 用，比如 25 的立方根用 “3^√”表示以后，诸如“3^√”等等形式的根号渐渐使用开 来 由此可见， 一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中， 经过 不断改良、 选择和淘汰的结果， 它是数家们集体智慧的结晶，而不是某一个人凭 空臆造出来的，也不是从天上掉下来的 平方根，又叫二次方根， 对于非负实数来说， 是指某个自乘结果等于的实数，表 示为(√x) ，其中属于非负实数的平方根称算术平方根正数a 的正的平方根， 叫做 a 的算术平方根 ）有时我们说的平方根指算术平方根一个正数如果有平 方根，那么必定有两个， 它们互为相反数 如果我们知道了这两个平方根中的一 个，那么立即可以得到它的另一个平方根。

正数a 的平方根可以记作 “±√a”，a 称为被开方数正整数的平方根通常是无理数 负数有平方根吗？其实， 没有一个数的平方根是小于零的，所以负数没有平方根 （没有意义） 如果一个数 x 的立方等于 a， 即 x 的三次方等于 a(x^3=a), 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫做三次方根立方根，类似于平方根的表示方法，读作“ 三次根 号 a” 其中， a 叫做被开方数， 3 叫做根指数 a 不等于 0） 求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方所有实数都有且只有一个立方根 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0 在现实生活中，我们可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可 以用来验证开平方（开立方）的正确性数学家庭中的一对孪生兄弟――浅谈轴对称图形的应用数学的世界真可谓是浩瀚无比由点到线， 由线到面， 由面到体 无不蕴藏着丰 富的知识 我记得曾经有一句著名的格言：数学比科学大得多， 因为它是科学的 语言可想而知，数学的伟大与魅力了吧！然而，在数学的大家庭中 有一对兄弟深深的吸引了我，他们的形状，他们的关 系，他们的普遍性， 让人觉得他们一直在我们的身边，离我们很近很近。

他们就 是轴对称图形轴对称图形是一个一定要沿着某直线折叠后，直线两旁的部分互相重合的图形， 之所以说到他们的关系是因为他们两个总是被一条直线所连着，好似一对分不开 的兄弟，关系十分的密切 把他们拉在一起的这条直线就是他们的对称轴当然 这条对称轴就像一个公正的法官左右两边的长度、 面积、大小等，都一点儿也 不差，唯一不同的就是他们所朝的方向在数学的课本上， 我们看见过他们的身影， 我们也接触和了解过他们 但是他们 给我印象更多的，却是他们在日常生活中所扮演、 组成的图形或者可以说是事物一、生活当中的轴对称图形1、自然界中的轴对称图形当我漫步在街头时， 我时常看见飞来飞去的蝴蝶当一只蝴蝶停留在花朵上， 张 合着翅膀时， 我发现如果将蝴蝶两只触角的中点与尾部相连接，连接好的线段所 在的那一条直线就是其对称轴 而右边的翅膀就像是左边的翅膀沿着对称轴翻过 去的图形 跟蝴蝶一样是轴对称图形的动物还有很多比如蜻蜓、 飞蛾等如果 到了秋天， 远看稻田，金黄的一片， 不禁使人感觉到又是一个丰收的季节就在 这个令人喜悦的季节里，我行走在田边的小路上，随手捡起了一片金黄的树叶， 仔细的观察了一下，发现其实树叶也有对称轴。

如果我们将树叶中间的那根经， 当成是其左右两边的对称轴， 那将树叶右边部分沿着这条对称轴对折过去，正好 与左边的一半树叶重合2、商标中的轴对称图形有一次，我跟我的家人去中国银行取钱，我无意间发现中国银行的标志也是一个 轴对称图形这个图形的对称轴有两条第一条是图标中两竖相连接所形成的， 而另一条就是方框上下两条横线连接的线段的中点，所在的那一条直线就是其第 二条对称轴 和中国银行一样的还有中国联通、中国农业银行以及奔驰汽车等轴 对称图形 但是如果大家觉得前面几个例子，平时都没有注意到的话， 那么下面 说到的这个例子大家肯定熟悉的不得了这个例子就是商标，我先来举一个吧 平时我最大的兴趣就是吃零食所以我对“ 旺旺” 这个商标熟悉的不得了我发现 在旺旺这个商标当中，将其头发上的一个中点到两脚脚后跟之间的线段的中点， 想连接的线段所在的那一条直线就是其对称轴也正是这条对称轴将旺旺这个图 标分成了相等的两份 像旺旺这样具有对称轴的商标还有很多比如：五粮液的 商标、麦当劳的商标、 CONVERSE （匡威）的商标等等而且这些图形都是我 们日常生活中常见的， 这也不告诉了我们， 只要我们认真、 仔细的观察生活， 数 学的无处不在吗。

二、建筑当中的轴对称图形说了生活中较为普通也较常见的轴对称图形后，也应该说说在建筑方面关于轴对 称的宏伟建筑了 像我们中国的天安门城楼 如果用线段连接天安门城楼的左右 两边，这条线段的中点所在的直线就是对称轴了，这条对称轴不就把天安门城楼 分成了相同的两份了吗？法国的埃菲尔铁塔，是法国标志性建筑之一 它的对称 轴就是把铁塔底部的两边相连接 连接后的线段的中点与塔尖的点相连接的线段 所在那一条直线了 还有一些建筑也利用了轴对称的方法，他们在建筑的前方建 了一个很大的水池， 使建筑倒映在水中， 从而形成了轴对称的效果， 也增大了空 间,使原本的建筑更美观，更加壮观像泰姬陵，它不就是建筑与轴对称图形相 结合的最好例子吗 在地球的另一边， 有一座建筑物深深地影响着整个世界的历 史，这座建筑物就是白宫 这是一座位于美国华盛顿的著名行政大楼白宫著名 的背后，轴对称起了极其重要的作用 白宫它的对称轴就是顶部的点与底部左右 两边线段的中点， 相连接的线段所在的那一条直线对了，还有我们每个人家里 都会有门， 一些建筑师为了使门显得更加大气，更加庄重 就把门进行设计， 使 门的左右两边相同， 古代衙门的大门和一些官府府邸的大门也设计成了轴对称的 形式。

使大门显得更加有气势， 愈发显的威严 从中我们也不难发现， 只要懂得 轴对称图形，善于利用轴对称图形，就能使轴对称图形溶入到方方面面三、文学当中的轴对称图形1、文字中的轴对称图形每个人都知道，我们中华民族有着5000 年的悠久文化这么多年的文化所沉淀 下来的瑰宝可谓是数不胜数 剪纸是我们民族十分古老的民间艺术之一就是在 这艺术品当中也不乏有轴对称的应用让我来举个例子吧 我还记得以前我奶奶 教我剪繁体的 “ 喜” 字时，首先是将红纸对折一下， 之后用剪刀在纸上挥舞了一会打开刚刚对折的纸时，出现了一个“ 喜” 字，当时我看了之后，心里那个高兴啊， 惊奇啊，但是就是不知道为什么会这样现在长大了，我也知道了其实在剪“ 喜” 字的过程当中， 也运用了轴对称 还有许多剪纸作品， 也正是因为有了轴对称的 存在，使其更加精致、美观当然我们现在所写的简体字中，也有轴对称如 “ 丰”“目”“尖” 等文字的对称轴较为好找，横一横，竖一竖，基本上就能够找到 其实有时候， 对称轴也具有复制的功能， 它能够把一个字， 分成与其相同的两个 字，像 “ 二” 如果把它的对称轴当作是第一横的中点和第二横的中点，所连接成的 线段所在的直线的话。

那么左右两边的图案， 不是可以近似的看成两个二吗？此 时轴对称就具有复制的功能，但是在我的眼里它还具有另一个功能就拿这个 “ 一” 来说吧与前面相同，也是画竖下来的对称轴画好之后，要把这条对称轴 当成这个字原有的，那么你就会发现 一” 与这条对称轴就组成了一个“ 十” 字 这就是在我眼里轴对称图形的第二个功能能够使一个字变成另外一个字2、文学中的轴对称图形刚刚说的都是文字当中轴对称的应用那由字所组成的句子呢？其实仔细推敲一 下，也有我记得我以前与同学们都在玩一个游戏，就是一个人说出一句话， 另 一个人马上就得把这个句子反着读出来在整个游戏过程当中， 有一句话给我留 下了深刻的印象 “ 上海自来水来自海上 ” 当我们把这个句子反着读一便时，就会发 现它与正着读的语序一模一样再仔细看一看，这又是一个关于轴对称的应用 这么来说吧，如果我们把“ 上海自来水来自海上 ” 中的水字不看，那么两个“ 来” 字 的中点所在的那一条直线， 就可以把这句话分成相等的两等份，这不就证明了句 子当中也有轴对称的应用吗？这一系列的例子，也让我们看出了轴对称在文学方 面所做出的成就， 它能使一些作品更加完美， 有画龙点睛的作用。

也能使文字变 化起来，使句子顺口起来 给文字与句子带来更多的趣味，也给文学添上了十分 美丽的一笔四、奥运当中的轴对称图形2008 年北京奥运会即将来临在这个令全中国人都兴奋起来，令全世界人都以 不同形式参与进来的盛会中我们也不难发现轴对称图形——奥运五环旗我们可以把奥运五环旗（如图一），黄、绿两环相接触的地方点A 与黑环上的 点 B 相连接，此时对称轴就是线段A、B 所在的那一条直线在奥运会上有奥运五环旗当然也会有奥运吉祥物，2008 年北京奥运会的吉祥物 是奥运福娃 仔细看看我们的奥运福娃不禁让人喜欢的不得了尤其是福娃晶晶 更是惹人喜爱 他的憨厚， 他的朴实，无不给人亲近的感觉 图二就是福娃晶晶 在举重的画面 如果大家看一下图二这张图片，就会发现如果把这张图片中的点A 与下端的点 B 相连接那么这条线段所在的那一条直线就是福娃晶晶的对称 轴想不到吧，原来奥运福娃也是轴对称图形还有在奥运会上，当各国的国旗徐徐上升时，又引发了我对轴对称图形的联想 像英国的国旗， 它的对称轴就是国旗上下两边线段的中点，所连成的线段所在的 那一条直线像这样的国旗还有很多如加拿大国旗、意大利国旗等等轴对称图形的千变万化， 使我眼花缭乱， 头晕目眩。

在它每一次变化中， 都可以 发现许多的惊喜 轴对称变化它也无处不在， 它存在于各个角落， 这也给我们研 究它带来了很多的便利在研究轴对称图形的过程中，我懂得了只有我们用心观察，才能发现数学 只有 我们认识数学， 在生活中善于利用数学， 我们才能将数学溶入到方方面面而且 只有我们将数学溶入到方方面面，我们才能更加好的去研究数学其实数学的世界真的好大好大此时我真想将自己变成大山伫立在数学当中变 成流水穿梭与数学之。