whx第十五章傅里叶级数.ppt

第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数 §2 以2l为周期的函数的展开式§3 收敛定理的证明§1 傅里叶级数首页×一、三角函数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动最简单的 周期运动，可用正弦函数来描写1)由（1）所表达的周期运动也称为简谐振动，其中 为振幅， 为初相角， 为角频率，于是简谐振动 的周期是 所以函数（2）的周期为 对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项 级数的叠加2）（由于简谐振动 的周期为较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象 对于级数（3），只要讨论 （如果 ， 可用 代替 ）的情形 由于所以记 则级数（3’）可写成（3）（3’）它是由三角函数列（也称为三角函数系） 1， ， ， ， ，… ， ， … （4）所产生的一般形式的三角函数容易验证，若三角级数（4）收敛，则它的和一定是一个以 为为周期的函数证 对任何实数，由于应用魏尔斯特拉斯判别法（定理13.5）就能推得本定理的结论。

□ 为进一步研究三角级数（4）的收敛性，先探讨三角函数系（5）具有 哪些特性首先容易看出，三角函数系（5）中所有函数具有共同的周期 .关于三角级数（4）的收敛性有如下定理： 定理 15.1 若级数收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛其次，在三角函数系（5）中，任何两个不相同的函数的乘积在上的积分都等于零，即（6） （7） 而（5）中任何一个函数的平方在上的积分都不等于零，即（8）通常把两个函数可积，且的函数与称为为在上是正交的三角函数系（5）在上具有正交性，或说说（5）是正交函数系应应用三角函数系（5）的正交性，讨论讨论 三角函数（4）的和函 数与级级数（4）的系数，，之间间的关系定理 15.2 若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：（9） （10a）（10b）证证 由定理条件，函数在逐项积分得且可积对（9）式上连续二 以为周期的函数的傅里叶级数由关系式（6）知，上式右边括号内的积分都等于零所以即得现以乘（9）式两边（为正整数），得（11） 从第十三章§1习题4知道，由级数（9）一致收敛，可推出级数（11 ）也一致收敛于是对级数（11）逐项求积，有由三角函数的正交性，右边除了以为系数的那一项积分外，其他各项积分都等于0，于是得出（同理，（9）式两边乘以，并逐项求积，可得若是以为周期且在上可积的函数，则可按公式（10）和，它 计算出们称为函数（关于三角函数系数）的傅里叶系数，的傅里叶系数为系数的三角级数（9）称为（关于三角函数系）的傅里叶级数，记作以（12） 这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。

由定理15.2 知道：若（9）式右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数 ，我们知道，若 的导函数在 上连续连续 ，则则称在上光滑但若上除了至多 定义在有有限个第一间断点的函数 的导函数在 上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数 右极限存在，则称 的左、在上 按段光滑 根据下述定义，若函数 上按段光滑，则则有如下重要性质质：在三 收敛敛定理 定理 15.3 若以 为为周期的函数在上按段光滑，则则在每一点的傅里叶级级数（12）收敛敛于在点的左、右极限的算术平均值，即其中为为的傅里叶系数3 在补充定义 在上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为上可积从几何图形上讲，在区间上按段光滑函数，是由有限个光滑弧段所在),1在上可积2 在上每一点都存在，且有：（13） 组成，它至多有有限个第一类间断点与角点（图15－1）收敛定理指出，f的傅里叶级数在点x处收敛于这一点上 的左、右极限的算术平均值 ；而当在点 x 连续时，则有 ,即此时f的傅里叶级数收敛于 于是有如下推论 推论 若f是以 为周期的连续函数，且在 上按段光滑，则 的傅里叶级数在 上收敛于 。

根据收敛定理的假设，是以 为周期的函数，所以系数公式（10）中的积分区间可以改为长度为 的任何区间，而不影响 ， 的值（10’） 其中为任何实数注意 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时，常只给出函数 在 （或）上的解析表达式，但应理解为它是定义在整个数轴上以 为周期的函数即在 以外的部分按函数在 上的对应关系作周期延拓如 为上的解析表达式，那么周期延拓后的函数为如图15－2所示因此说函数f的傅里叶级数就是指函数 的傅里叶级数例1 设求的傅里叶级数展开式解 函数及其周期延拓后是按段光滑的，故由定理15.3（收敛定理），它可以展开成傅里叶级数由于当 时，所以在开区间 上在 时，上式右边收敛于例2 把下列函数展开成傅里叶级数 解 f及其周围延拓的图形是按段光滑的，因此它可以展开成傅里叶级数在（10’）中令c=0来计算傅里叶系数如下所以当 时，当 时，由于所以 （14） 当 或 时，由于因此（15） 由（14）或（15）都可推得。