对数函数及其性质-对数的定律公式互化-详尽的讲解.doc

/-2.1　对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果ax＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即loga1＝0；③底的对数等于1，即logaa＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①loga(MN)＝logaM＋logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②loga＝logaM－logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③logaMn＝n·logaM (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)．②防止出现以下错误：loga(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n.3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝ (b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)．证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数，得xlogcb＝logcN.所以x＝，即logbN＝.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN＝或logbN·logNb＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；(2)logbnNm＝logbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R).　　　 题型一　正确理解对数运算性质对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是(　　)①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①与③　　B．②与④　　C．②　　　　D．①、②、③、④解析　在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立．在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．所以，只有②成立．答案　C点评　正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．　　　 题型二　对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3).分析　利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解　(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵＝＝－＝－.点评　对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．　　　　 题型三　对数换底公式的应用计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．分析　由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解　方法一　原式＝＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.方法二　原式＝＝＝＝13.点评　方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．错解　由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3.解得x＝1或x＝－3.错因分析　对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解　由对数的性质知解得x＝1，故实数x的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N (a>0，且a≠1，N>0)．1．(上海高考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析　∵9x－6·3x－7＝0，即32x－6·3x－7＝0∴(3x－7)(3x＋1)＝0∴3x＝7或3x＝－1(舍去)∴x＝log37.答案　 log372．(辽宁高考)设g(x)＝则g＝____.解析　g＝ln<0，g＝eln＝，∴g＝.答案　1．对数式log(a－3)(7－a)＝b，实数a的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－∞，7) B．(3,7)C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)答案　C解析　由题意得解得30，a≠1，loga(a2＋1)0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为(　　)A．4 B. C．3 D.答案　D6．若方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于(　　)A．lg7·lg5 B．lg35 C．35 D.答案　D解析　∵lgα＋lgβ＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg∴α·β＝.7．已知f(log2x)＝x，则f＝________.答案　解析　令log2x＝，则2＝x，∴f＝2＝.8．log(－1)(＋1)＝________.答案　－1解析　log－1(＋1)＝log－1＝log(－1)＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lgx＝－2＋0.778 1，则x＝________.答案　0.06解析　∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lgx＝－2＋lg2＋lg3，即lgx＝lg10－2＋lg6.∴lgx＝lg(6×10－2)，即x＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log的值；(2)已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.解　(1)lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，又∵　∴x>2y>0，∴x＝y，应舍去，取x＝4y.则log＝log＝log4＝＝4.(2)∵18b＝5，∴log185＝b, 又∵log189＝a，∴log365＝＝＝＝＝＝.11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．解　令ax＝by＝cz＝t (t>0且t≠1)，则有＝logta，＝logtb，＝logtc，又＋＋＝0，∴logtabc＝0，∴abc＝1.12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．解　∵关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，∴Δ＝0，即4－4[lg(c2－b2)－2lga＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lga＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1　对数与对数运算(一) 学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算． 自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.4．若a>0，且a≠1，则ab＝N等价于logaN＝b.5．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1).　　　　　 一、对数式有意义的条件例1　求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.分析　由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可．解　(1)由题意有x－10>0，∴x>10，即为所求．(2)由题意有即∴x>1且x≠2.(3)由。