概率论与数理统计讲义第四章几类重要的分布.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑概率论与数理统计讲义第四章几类重要的分布 第四章 几类重要的分布 【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【根本要求】1、了解Bernoulli概型，纯熟掌管二项分布、Poisson分布； 2、纯熟掌管平匀分布、正态分布和指数分布及其性质； 3、熟记二项分布、泊松分布、平匀分布的数学期望和方差； 4、知道二维正态分布与平匀分布 【本章重点】纯熟掌管Bernoulli概型、二项分布、Poisson分布、平匀分布、正态分布和 指数分布及其性质 【本章难点】对离散型与连续型随机变量的分布的理解 【授课内容及学时调配】 §4.0 前 言 在其次章中我们曾经研究了随机变量的分布，概括的研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简朴的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、 Poisson分布、正态分布是概率论中三大重要的分布，因此，在本章中，我们重点研究二项分布、Poisson分布和正态分布，并在此根基上研究其它一些连续型分布 §4.1 二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。

一、泊努利分布[Bernoulli distribution] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验 在大量实际问题中，我们感兴趣的是某事情A是否发生例如在产品抽样检验中，关切的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关切的是展现正面还是反面，等在这一类随机试验中，只有两个根本事情A与A，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验 为便当起见，在一次试验中，把展现A称为“告成”，展现A称为“失败” 通常记P?A??p, PA?1?p?q 2．泊努利分布 1 ??定义：在一次试验中，设P(A)?p，P(A)?q?1?p，若以?记事情A发生的次数，那么?0?~??q?1??，称?按照参数为p(0?p?1)的Bernoulli分布或两点分布，记为：?~B(1,p) ?p?二、二项分布[Binomial distribution] 把一重Bernoulli试验?独立地重复地举行n次得到n重Bernoulli试验 【注】：重复是指每次试验中告成的概率不变；独立是指n次试验独立举行 定义：在n重Bernoulli试验中，设P(A)?p,P(A)?q?1?p若以?记事情A发生的次数，那么?为一随机变量，且其可能取值为0,1,2,?,n，其对应的概率由二项分布给出： kkP???k??Cnp(1?p)n?k，k?0,1,2,3,?,n，那么称?按照参数为n,p(0?p?1)的二项分 布，记为?~B(n,p)。

若记b(k,n,p)?P{??k}，鲜明得志： (1) 非负性: b(k,n,p)?0 kk(2) 模范性:?b(k,n,p)??Cnp(1?p)n?k?[p?(1?p)]n?1 k?0k?0nn二项分布描绘的是n重Bernoulli试验中告成展现的次数若记?为告成展现的次数，那么?的可能取值为k?0,1,2,3,?,n，其相应的概率为： kkP???k?=Cnp(1?p)n?k?b?k,n,p? 事实上：若记 \Bk?\n重B试验中告成恰好展现k次\，Ai?\第i次试验展现告成Ai?\第i次试验展现失败\ i?1,2,3,?,n，那么： kBk?A1A2...AkAk?1?An?...?A1A2?An?k?1An?k?1?An，其共有Cn个项，且两两互不相容 由试验的独立性可知： P{A1A2...AkAk?1...An}?P(A1)P(A2)?P(Ak)P(Ak?1)?P(An)?pk(1?p)n?k k.pk(1?p)n?k ?P?Bk??Cn例1：若在M件产品中有N件废品，现举行有放回的n次抽样检查，问共取得k件废品的概率有多少？ 解：由于是有放回的抽样，因此，这是n重的Bernoulli试验。

记A为“各次试验中展现 2 NM，设?为n次抽样检查中所抽到的废品数，那么?~B(n,)，因MNNkNk()(1?)n?k 此，所求概率为：P???k??CnMM废品”这一事情，那么P?A??三、二项分布的数学期望与方差 kk设?~B?n,p?，P???k??Cnp(1?p)n?k ，k?0,1,2?n 由数学期望的定义： n?n?1?!pk?1?(1?p)n?k n!kn?kE???kP{??k}??k??p?(1?p)?np?k!?n?k?!!?n?k?!k?0k?0k?1?k?1?nn（令k?1?l） =np?l?0n?1?n?1?!l!?n?1?l?!p(1?p)ln?1?l?np?Cn?1pl(1?p)n?1?l?np[p?(1?p)]n?1?np l?on?1l即：E??np 由方差的定义：D??E(?2)?(E?)2 E(?)??kCpq22knkk?0n?1nn?k??kk?1nn!pkqn?k （令k?1?l） ?k?1?!?n?k?!?n?1?!?n?1lln?1?ln?1lln?1?l?ln?1?l=np??l?1?=np??lCn?1pqpq??Cn?1pq? ??l!n?1?l!l?0l?0?l?0?=np?n?1?p?(p?q)n?1=np?n?n?1?p2 ?D??np?n?n?1?p2?(np)2?np?1?p??npq ??五、二项分布的Poisson迫近 Th：在n重Bernoulli试验中，记pn为事情A在一次试验中展现的概率，它与试验总数n有关（一组试验），若limnPn??>0, 那么对?的正整数k?0，有limb?k;n,Pn??n???kk!n??e?? Proof:令?n?npn，那么lim?n??,且pn?n???nn 那么 n?k?????k?nk?()??1?n?b?k;n,Pn??b?k;n,n??Cnnn?n???n?kkn!??n????=?nn???1???n?k?!?k!???n? 3 n(n?1)?(n?k?1)??n???n?=?????1??k!n??n??1??k?1???n?=??1????1????1??k!?n??n??n? kn?k 1k????e(n??) k!?kn?n?k?§4.2 泊松分布[Poisson distribution] 一、定义：称?按照参数为???0?的Poisson分布，若 p???k???kk!e?? k?0,1,2,.. .记为：?~p?k;??或?(k,?)，p?k;???鲜明： ?kk!e?? k?0,1,2,.. .p???k??0 ?p???k???k!ek?0k?0???k???e???k!?e?e??1 ?k?0??k为计算便当课后给出了Poisson分布表，见p278附表1 【说明】历史上Poisson分布是作为二项分布的近似于1837年由法国数学家泊松引入的，若把B?试验中告成概率p值很小的事情叫做稀有事情，那么由上面TH当n充分大时，n重B?试验中稀有事情发生的次数近似按照Poisson分布。

这时，参数?的整数片面 [?]恰好是稀有事情发生的最可能次数，在实际中常用Poisson分布来作为大量重复独立试验中稀有事情发生的概率分布处境的数学模型，诸如不幸事情，意外事故、故障，分外见病，自然苦难等，都是稀有事情 大量随机现象都按照Poisson分布一是社会生活对服务的要求：如交换机中来到的呼叫次数；公共车站来到的乘客数都近似按照Poisson分布另一领域是物理学放射性分裂落到某区域的质电点；热电子的放射等都按照Poisson分布 例2：设儿童在注射乙肝疫苗产生不良反映的概率为0.001，试确定2000个儿童中有3个以及多于两个儿童产生不良回响的概率？ 解：设?表示产生不良回响的儿童个数，那么?~B(n,p)，由于假设“不良回响”是稀有事 ?k??0e，其中??np?200?件，所以?可假定按照P(k;?)?k!4 0.?001，从而可得 2k?2P{??3}|?0.180，P{??2}??e?0.323 k?3k!?二、Poisson分布的数学期望和方差 设?~p?k,??，即p???k??E???kpk??kk?0k?02?2?kk!?k?1e??,k?0,1,2,... ????kk!?e????e????k?1?!??e?e???k?1???? ??E(?)??kpk??kk?0k?0e?k?1?!??k?1?????k??e?k??e????l?1?l!??k?1!k?1?l?0?k?1? （令k?1?l） ??????l??l?=?e??l??? ?l?0l!l?0l!???=?e???e??e?=????1? 所以：D??E(?2)?(E?)2??2????2?? ??例3：保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计其利润，需要计算各种概率。

保险公司现在为社会供给一项人寿保险，据已有的资料显示：人群中与这项保险业务有关的死亡概率为0.0020，今有2500人加入这项保险，每个参保的人员在每年1月1日交付120元保险金，而在死亡时家属可从公司领20000元保险金试问：(1)保险公司蚀本的概率是多少? (2) 保险公司赢利不少于10万元、20万元的概率是多少? 解：每年1月1日，保险公司的收入30万元=120?2500，若一年中死亡x人,那么保险公司这一年应付出20000x元，因此“公司蚀本”意味着20000x>300000 即x>15人，这样“公司蚀本”这一事情等价于“一年中多于15人死亡”的事情，从而转而求“一年中多于15人死亡”的概率，若把“加入保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机试验，那么问题可用n?2500，p?0.002的Bernoulli试验来近似，设?为一年中这些参保人员里死亡的人数， ,0.002) 那么?~B(2500由上定理，??np?2500?0.002?5，经查Poisson分布表，可得： 5k(1) P{蚀本}=P{??15}=?e=0.000070 k?16k!??5(2)赢利不少于100000元，那么意味着 300000-20000x?100000?x?10； 5 — 8 —。