二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题2768-修订编选.pdf

二次函数与一元二次方程教学案二次函数与一元二次方程教学案 二次函数与一元二次方程之间的联系二次函数与一元二次方程之间的联系 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特 2 0axbxc 2 yaxbxc0y 殊情况. 图象与 轴的交点个数：图象与 轴的交点个数：x 当时，图象与 轴交于两点，其 2 40bac x 12 00A xB x， ，， 12 ()xx 中的是一元二次方程的两根这两点间的距离这两点间的距离 12 xx， 2 00axbxca . 2 21 4bac ABxx a 当时，图象与 轴只有一个交点；0 x 当时，图象与 轴没有交点.0 x 当时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有；当时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有；10a xx0y 当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有当时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 20a xx0y 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 2 yaxbxcy(0) c 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 例：例：二次函数232 与 x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若 没有，请说明理由: 根据图象的位置判断二次函数中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ，abca ， 的符号判断图象的位置，要数形结合数形结合；bc 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称 的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x 总结：总结： 一 元 二 次 方 程的 实 数 根 就 是 对 应 的 二 次 函 数0 2 cbxax 与cbxaxy 2 轴交点的 .x 二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 ） 21 xx 、 二次函数二次函数cbxaxy 2 与与 一元二次方程一元二次方程0 2 cbxax 与轴有与轴有 个交点个交点x 0，方程有 的 0，方程有 的acb4 2 实数根是 .实数根是 . 与轴有与轴有 个交点个交点x 这个交点是这个交点是 点点 0，方程有 的 0，方程有 的acb4 2 实数根是 .实数根是 . 与轴有与轴有 个交点个交点x 0，方程 实数根. 0，方程 实数根.acb4 2 二次函数与轴交点坐标是 .二次函数与轴交点坐标是 .cbxaxy 2 y 经典例题讲解经典例题讲解 【例【例 1】】 已知：关于x的方程 2 3(1)230mxmxm 求证：m取任何实数时，方程总有实数根； 若二次函数 2 1 3(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称 求二次函数 1 y的解析式； 已知一次函数 2 22yx ，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两 个函数所对应的函数值 12 yy 均成立； 在条件下，若二次函数 2 3yaxbxc的图象经过点( 5 0) 小 ，且在实数范 围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值 132 yyy ，均成立，求 二次函数 2 3 yaxbxc的解析式 【思路分析】【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方 程与二次函数的考查方式。

由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论 M=0 和 M0 两种情况，然后利用根的判别式去判断第二问的第一小问考关于 Y 轴对称的二 次函数的性质，即一次项系数为 0，然后求得解析式第二问加入了一个一次函数，证明因 变量的大小关系，直接相减即可事实上这个一次函数 2 y恰好是抛物线 1 y的一条切线，只 有一个公共点（1，0） 根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点 于是通过代点， 将 3 y用只含 a 的表达式表示出来,再利用 132 yyy,构建两个不等式,最终分 析出 a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【解析】【解析】 解：（1）分两种情况： 当0m 时，原方程化为033x，解得1x ， （不要遗漏） 当0m ，原方程有实数根. 当0m时，原方程为关于x的一元二次方程， 2 22 31 4236930mmmmmm . 原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判 定，让判别式小于 0 就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大 家注意就是了） 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根. （2）关于x的二次函数32) 1(3 2 1 mxmmxy的图象关于y轴对称， 0) 1(3m.（关于 Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为 0） 1m. 抛物线的解析式为1 2 1 xy. 2 2 12 12210yyxxx ， （判断大小直接做差） 12 yy（当且仅当1x 时，等号成立）. （3）由知，当1x 时， 12 0yy. 1 y、 2 y的图象都经过1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） 对于x的同一个值， 132 yyy， 2 3 yaxbxc的图象必经过 1,0. 又 2 3 yaxbxc经过 5,0 ， 2 3 1545ya xxaxaxa. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算） 设)22(54 2 23 xaaxaxyyy)52()24( 2 axaax. 对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值 132 yyy均成立， 32 0yy， 2 (42)(25 )0yaxaxa. 又根据 1 y、 2 y的图象可得 0a ， 2 4 (25 )(42) 0 4 aaa y a 小 小 .（a0 时,顶点纵坐标就是函数的最小值） 2 (42)4 (25 )0aaa. 2 (31)0a. 而 2 (31)0a. 只有013a，解得 1 3 a . 抛物线的解析式为 3 5 3 4 3 1 2 3 xxy. 【例【例 2】】关于x的一元二次方程 22 (1)2(2)10mxmx . （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点 11A ， 是抛物线 22 (1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析 式； （3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在 与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明 理由. 【思路分析】【思路分析】 第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。

第二问给点求 解析式， 比较简单 值得关注的是第三问， 要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点， 则需要设直线 y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样 还不够， 因为 y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于 x 轴的直线,恰恰这种直线也是和 抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能. 【解析】：【解析】： （1）由题意得 2 2 224(1)0mm （） 解得 5 4 m 2 10m 解得1m 当 5 4 m 且1m 时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得 2 12(2)11mm 解得 31mm ， （舍） (始终牢记二次项系数不为 0) 2 8101yxx （3）抛物线的对称轴是 5 8 x 由题意得 1 1 4 B ， (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 1 4 x 与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏) 另设过点B的直线y kxb （0k ） 把 1 1 4 B ， 代入y kxb ，得1 4 k b ， 1 1 4 bk 1 1 4 ykxk 2 8101 1 1 4 yxx ykxk 整理得 2 1 8(10)20 4 xk xk 有且只有一个交点， 2 1 (10)4 8(2)0 4 kk 解得6k 1 6 2 yx 综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有 1 4 x ， 1 6 2 yx 【例【例 3】】已知 P（ 3,m )和 Q（1，m）是抛物线 2 21yxbx上的两点 （1）求b的值； （2）判断关于x的一元二次方程 2 21xbx=0 是否有实数根，若有，求出 它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线 2 21yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使 平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值 【例【例 4】】 已知关于x的一元二次方程 2 2410 xxk 有实数根，k为正整数. （1）求k的值； （ 2） 当 此 方 程 有 两 个 非 零 的 整 数 根 时 ， 将 关 于x的 二 次 函 数 2 241yxxk的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象 回答：当直线 1 2 yxb bk与此图象有两个公共点时，b的取值范围. 【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于 0 加上 k 为正整数的条件求 k 很简单.第二问要分情况讨论当 k 取何值时方程有整数根,一个个 代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去 8.但是注意第三问,函数关于 对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折 之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题. 解：（1）由题意得，168(1)0k 3k k为正整数， 12 3k ， ， （2）当1k 时，方程 2 2410 xxk 有一个根为零； 当2k 时，方程 2 2410 xxk 无整数根； 当3k 时，方程 2 2410 xxk 有两个非零的整数根 综上所述，1k 和2k 不合题意，舍去；3k 符合题意 当3k 时，二次函数为 2 242yxx，把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象 的解析式为 2 246yxx （3）设二次函数 2 246yxx的图象与x轴交于 AB、两点，则( 3 0)A ，，(10)B ， 依题意翻折后的图象如图所示 当直线 1 2 yxb经过A点时，可得 3 2 b ； 当直线 1 2 yxb经过B点时，可得 1 2 b 由图象可知，符合题意的(3)b b 的取值范围为 13 22 b AO x y 8 6 4 2 2424 2 4 6 8 B 。