2012年湖北数学（理）高考真题解析版.doc

数学（理工类）试题参考答案 第 1 页（共 17 页）2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1．方程26130xx的一个根是 A．32i  B．32i C．23i  D．23i 考点分析：考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度难易度：★解析：解析：根据复数求根公式：26613 4x322i   ，所以方程的一个根为32i 答案为 A.2．命题“0xRQð，3 0x Q”的否定是A．0xRQð，3 0x Q B．0xRQð，3 0x QC．x RQð，3x Q D．x RQð，3x Q考点分析：考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考 察对命题的否定和否命题的区别.难易度难易度：★解析：解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否 定，然后把结论否定。

因此选 D3．已知二次函数( )yf x的图象如图所示， 则它与x轴所围图形的面积为A．2π 5B．4 3C．3 2D．π 2考点分析：考点分析：本题考察利用定积分求面积. 俯视图侧视图2正视图第 4 题图424211yxO第 3 题 图1 11 1数学（理工类）试题参考答案 第 2 页（共 17 页）难易度难易度：★解析：解析：根据图像可得： 2( )1yf xx ，再由定积分的几何意义，可求得面积为1231 1114(1)()33Sxdxxx .4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8π 3B．3π C．10π 3D．6π考点分析：考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：难易度：★ 解析：解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一 个 1/2 的圆柱体，底面圆的半径为 1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一 半为3π.选 B.5．设aZ，且013a，若201251a能被13 整除，则a  A．0 B．1 C．11 D．12考点分析：考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：难易度：★解析：解析：由于51=52-1，152...5252) 152(12011 201220111 201220120 20122012CCC,又由于 13|52,所以只需 13|1+a，0≤a<13,所以 a=12 选 D.6．设, , , , ,a b c x y z是正数，且22210abc，22240xyz，20axbycz，则abc xyzA．1 4B．1 3数学（理工类）试题参考答案 第 3 页（共 17 页）C．1 2D．3 4考点分析：考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：难易度：★★解析：解析：由于222222)())((2czbyaxzyxcba 等号成立当且仅当, tzc yb xa则 a=t x b=t y c=t z ，10)(2222zyxt所以由题知2/1t,又2/1, tzyxcba zyxcba zc yb xa所以，答案选 C.7．定义在(,0)(0,)U上的函数( )f x，如果对于任意给定的等比数列{}na， { ()}nf a仍是等比数列，则称( )f x为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)U上的如下函数：①2( )f xx； ②( )2xf x ； ③( )||f xx； ④( )ln ||f xx.则其中是“保等比数列函数”的( )f x的序号为 A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 考点分析：考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度难易度：★解析：解析：等比数列性质，2 12nnnaaa，①  1222 12 22 2nnnnnnafaaaafaf； ②  122 21222222  naaaaa nnafafafnnnnn；③  122122nnnnnnafaaaafaf；④  122 122lnlnlnnnnnnnafaaaafaf.选 C8．如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是数学（理工类）试题参考答案 第 4 页（共 17 页）A．21π B．11 2πC．2 πD．1 π考点分析：考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度难易度：★解析：解析：令1OA，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S，围成 OC 为2S，作对称轴 OD，则过 C 点。

2S即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，82 21 21 21 21 2122S在扇形 OAD 中21S为扇形面积减去三角形 OAC 面积和22S，162 281181 2221SS，42 21SS，扇形 OAB 面积41S，选 A.9．函数2( )cosf xxx在区间[0,4]上的零点个数为A．4 B．5 C．6 D．7考点分析：考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.难易度难易度：★解析：解析：0)(xf，则0x或0cos2x，Zkkx,22，又 4 , 0x，4 , 3 , 2 , 1 , 0k所以共有 6 个解.选 C. 10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L判断，下列近似公式中最精确的一个是A．3169dV B．32dV C．3300 157dV D．321 11dV考点分析：考点分析：考察球的体积公式以及估算.难易度：难易度：★★解析：解析：第 8 题图数学（理工类）试题参考答案 第 5 页（共 17 页）33466b6 9( )d,,===3.37532b16 6 16 1576 11==3==3.14,==3.142857230021dVaVAaBD由，得设选项中常数为则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。

二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14 题）11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若()()abc abcab，则角C  ． 考点分析：考点分析：考察余弦定理的运用.难易度：难易度：★解析：解析：222222a=-a-ab12cos=,2223abcbabcCCabab 由（+b-c）(a+b-c)=ab, 得到根据余弦定理故12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s  .考点分析：考点分析：本题考查程序框图.第 12 题 图数学（理工类）试题参考答案 第 6 页（共 17 页）难易度难易度：★★ 解析：解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当 n=1 时，得 s=1，a=3. 第二圈循环: 当 n=2 时，得 s=4，a=5 第三圈循环：当 n=3 时，得 s=9，a=7 此时 n=3，不再循环，所以解 s=9 . 13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如 22，121，3443，94249 等．显然 2 位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4 位回文数有 个；（Ⅱ）21()nnN位回文数有 个．考点分析：考点分析：本题考查排列、组合的应用.难易度难易度：★★ 解析：解析：（Ⅰ）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9（1~9）种情况，第二位有 10（0~9）种情况，所以 4 位回文数有90109种。

答案：90（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同， 所以可以算出 2n+2 位回文数的个数2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面 n 项每项有 10 种情况，所以个数为n109.法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,……99” ，因此四位数的回文数有90 个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9 这十个数，因此,则答案为n109.14．如图，双曲线22221 ( ,0)xya bab的两顶点为1A，2A，虚轴两端点为1B，2B，两焦点为1F，2F. 若以12A A为直径的圆内切于菱形1122FB F B，切点分别为,,,A B C D. 则A1 A2 yB2B1AO BCDF1 F2 x数学（理工类）试题参考答案 第 7 页（共 17 页）（Ⅰ）双曲线的离心率e  ；（Ⅱ）菱形1122FB F B的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12S S .考点分析：考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的 面积计算.难易度难易度：★★解析：解析：（Ⅰ）由于以12A A为直径的圆内切于菱形1122FB F B，因此点O到直线22BF的距离为a，又由于虚轴两端点为1B，2B，因此2OB的长为b，那么在22OBF中，由三角形的面积公式知，2 22)(21||21 21cbaFBabc，又由双曲线中存在关系222bac联立可得出222) 1(ee，根据), 1 ( e解出;215 e（Ⅱ）设22OBF,很显然知道222AOBOAF,因此)2sin(22 2aS .在22OBF中求得,cos,sin2222cbccbb 故222 2 24cossin4cbbcaaS；菱形1122FB F B的面积bcS21，再根据第一问中求得的e值可以解出25221SS.（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第 15 题作答结果计分.） 15． （选修 4-1：几何证明选讲） 如图，点 D 在Oe的弦 AB 上移动，4AB ，连接 OD，过点 D 作OD的垂线交Oe于点 C，则 CD 。