3.4.1基本不等式的证明.ppt

实验猜想实验猜想 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）形的直角边，多余部分折叠）．．【【问题问题1 1】】你能构造出符合要求的一个矩形吗？你能构造出符合要求的一个矩形吗？实验猜想实验猜想 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）直角三角形的直角边，多余部分折叠）．．【【问题问题2 2】】假设两个正方形的面积分别为假设两个正方形的面积分别为 和和 , ,，分别计算出，分别计算出矩形的面积矩形的面积与两个直角三角形的面积和，与两个直角三角形的面积和，它它们之间具有怎样的大小关系？们之间具有怎样的大小关系？构建数学构建数学矩形的面积矩形的面积两个直角三角形的面积两个直角三角形的面积和和≤≤几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数两个正数的两个正数的不大于它们的不大于它们的 , ,什么情况下等号成立？什么情况下等号成立？当且仅当当且仅当两个正数两个正数相等时两者相等相等时两者相等. .【【问题问题3 3】】你能用你能用上面的概念来叙述你的上面的概念来叙述你的猜想猜想吗吗？？?构建数学构建数学≤≤【【问题问题4 4】】我们由实验的特殊情况得到的结论只是一我们由实验的特殊情况得到的结论只是一种猜想，它的正确性还需要进一步严格证明，同学们种猜想，它的正确性还需要进一步严格证明，同学们对这一结论怎样证明？对这一结论怎样证明？ ≥≥0 0当且仅当当且仅当时时, ,取取““= =””. . 比较法比较法构建数学构建数学≤≤ 弗里德弗里德·威廉威廉·莱布尼茨莱布尼茨 ￿￿￿￿“数学的本质不在于它的对象，而在于它的方法”￿构建数学构建数学≤≤ ≥≥0 0对于正数对于正数 ，，有，，有≥≥0 0≥≥≥≥由由 因因 导导 果果综合法综合法要证要证≤≤只要证只要证≤≤只要证只要证≤≤只要证只要证≤≤因为最后一个不等式成立，因为最后一个不等式成立，所以所以 ≤ ≤ 成立成立. .分析分析法法执执 果果 索索 因因构建数学构建数学≤≤ 分析法分析法——执果索因执果索因综合法综合法——由因导果由因导果 从要证明的从要证明的结论结论出发，逐出发，逐步寻求使它成立的步寻求使它成立的充分条件充分条件，，直到最后，把要证明的结论归直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的结为判定一个明显成立的条件条件为止为止. 利用利用已知已知条件和某些数学条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系定义、定理、公理等，经过一系列的列的推理推理，最后推导出所要证明，最后推导出所要证明的的结论结论成立成立.用用 表示已知条件，或已有的定义、定理、公理等，表示已知条件，或已有的定义、定理、公理等， 表示要证明的结论表示要证明的结论.要证要证 ,只要证只要证 ，，…只要证只要证 ，，已知已知 成立，所以成立，所以 成立成立.…构建数学构建数学≤≤ 弗里德里希弗里德里希·冯冯·恩格斯恩格斯￿￿￿￿“没有分析就没有综合”￿构建数学构建数学≤≤ ≥≥0 0对于正数对于正数 ，，有，，有≥≥0 0≥≥≥≥由由 因因 导导 果果综合法综合法要证要证≤≤只要证只要证≤≤只要证只要证≤≤只要证只要证≤≤因为最后一个不等式成立，因为最后一个不等式成立，所以所以 ≤ ≤ 成立成立. .分析分析法法执执 果果 索索 因因 ≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥0 0，，≥≥0 0≥≥构建数学构建数学数学运用数学运用 ≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥2 2看想做悟≥≥0 0，，≥≥0 0≥≥数学运用数学运用 ≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥2 2看想做悟≥≥0 0，，≥≥0 0≥≥数学运用数学运用 ≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥2 2看想做悟≥≥0 0，，≥≥0 0≥≥数学运用数学运用 ≥≥2 2看想做悟≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥0 0，，≥≥0 0≥≥数学运用数学运用 ≥≥≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥2 2看想做悟数学运用数学运用 ≥≥≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥2 2看想做悟定值定值数学运用数学运用 ≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥2 2看想做悟≥≥2 2当堂反馈当堂反馈 ≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式≥≥≤≤回顾反思回顾反思 ≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式1.1.数学结论发现的一般过程是什么？数学结论发现的一般过程是什么？2.2.基本不等式的内容是什么？在证明过程中我基本不等式的内容是什么？在证明过程中我们运用了哪些方法？们运用了哪些方法？3.3.运用基本不等式可以解决哪些问题？需要注运用基本不等式可以解决哪些问题？需要注意哪些环节？意哪些环节？ ①②③≤≤几何解释：半弦长不大于半径几何解释：半弦长不大于半径≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式回顾反思回顾反思课后演练课后演练 ≤≤≥≥0 0，，≥≥0 0基本不等式(2)(2)拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释以及基本不等式的推广，整理并不等式的其他几何解释以及基本不等式的推广，整理并相互交流．相互交流．(1)(1)基本作业：课本基本作业：课本P99 P99 习题习题3 3、、6.6.(3)(3)探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．。