考研数学线性代数冲刺课程电子讲义.doc

考研数学线性代数冲刺课程电子讲义———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 2021考研冲刺班线性代数讲义主讲：尤承业欢送使用新东方电子教材目 录第一局部 矩阵 1一. n阶行列式的计算 1二. 矩阵的初等变换和初等变换法 3三．矩阵乘法的两个规律,矩阵分解 6四. 可逆矩阵的充分必要条件 8第二局部 向量组和线性方程组 10一．线性表示 10二. 向量组的线性相关性 14三. 秩的有关等式与不等式 17四. 线性方程组 19第三局部 特征向量与特征值 相似和对角化 二次型 25一. 特征值的计算 25二. 相似对角化问题 27三. 实对称矩阵的相似对角化 31四. 实二次型的标准化 33五. 判断两个实对称矩阵是否合同(判断两个二次型是否可用可逆线性变量替换互相转化) 34六. 正定问题 34 什么是串讲: 串讲就是总复习.在系统复习和做了大量题目的根底上,对全课程的理论和解题的方法进展整理和总结.串讲的特点:(1) 全局性,宏观性.对命题不看证明, 关心作用和应用.(2) 不求全面,突出要点,重点,考点.(3) 强调纵向联系,不顾及先后顺序.第一局部 矩阵本局部是全课程的根底,特别是计算的根底.本局部概念多,因此考点也多.关键性概念:矩阵的初等变换,矩阵的乘法,可逆矩阵.一. n阶行列式的计算计算n阶行列式不一定用递推法或数学归纳法，一些简单的n阶行列式可对某行(列)展开直接求得值;有些可化为三角行列式;还有的可用特征值计算.例1 1 0 0 … … tt 1 0 … … 00 t 1 … … 0 . … … … …0 0 0 … t 1例2 证明 a1 a2 a3 … an-1 an b1 c2 0 … 0 0 0 b2 c3 0 0 =. … … … … 0 0 0 … bn-1 cn (就是要证明M1i=b1…bi-1 ci+1…cn.)例3 证明 a0 a1 a2 … an-1 an b1 c1 0 … 0 0 b2 0 c2 … 0 0 =.… … … …bn 0 … 0 cn 例4 ① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 . a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+a a a a a 2 这些行列式都可以先求出相应矩阵的特征值来求值.例5 计算 ，其中.解 矩阵特征值为相应行列式为原行列式的值例6 证明证明 二. 矩阵的初等变换和初等变换法问题：①什么时候可用列变换？②如果两类变换都可以用，能否交替使用？除了计算行列式，矩阵的初等变换应用在两个方面:(1) 用性方程组类问题上对线性方程组的增广矩阵作初等行变换反映了方程组的同解变换.这方面的应用只可用行变换,决不可用列变换.(2) 计算矩阵和向量组的秩初等行变换和初等列变换都保持矩阵的秩.因此两类变换都可以用,并且可交替使用.〔但是如果要求极大无关组，那么只可用行变换〕每一种应用都要用到下面的根本运算:用初等(行)变换把一个矩阵化为阶梯形矩阵或简单阶梯形矩阵. 用初等行变换把可逆矩阵化为单位矩阵.2. 初等变换法(1)求方程组的唯一解当A是可逆矩阵时, AX=β唯一解,求解的初等变换法:对增广矩阵(A|β)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|β)(E|h),那么h 就是解.(2) 解矩阵方程有两种根本矩阵方程:(I) AX=B. (II) XA=B.在A是可逆矩阵这两个方程都是且唯一解.(I) AX=B是线性方程组的推广,求解方法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X: (A|B)(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT.. (AT|BT)(E|XT)(3) 当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)(E|A-1)近几年考题中常见的一类求矩阵的题, 可利用矩阵方程求解:给定了3阶矩阵A的3个线性无关的特征向量α1,α2,α3,和它们的特征值，求A,(给定6个3维列向量α1,α2,α3,β1,β2,β3,求一个3阶矩阵A,使得Aα1=β1, Aα2=β2, Aα3=β3.)例7 A是3阶矩阵的向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解, (1) A的各行元素之和都为3, 求A.(06)(2) A是3阶实对称矩阵,求A. 解 根据题意有.(1)的各行元素之和都为3，那么 .建立矩阵方程 再用初等变换法求出.(2)有两个线性无关的解那么 . .再由. 所以的特征值为0，0，3.由于A是实对称矩阵，属于3的特征向量与都相交，即满足求得一个非零解即建立矩阵方程 .例8二次型f(x1,x2,x3)= X TAX在正交变换X=QY下化为y12+y22, Q的第3列为(,0,)T.求A. 解 有. 即.那么的特征值为.是的特征向量，特征值为0，从而也是的特征向量，特征值为0.求的属于1的两个无关特征向量，即的非零解它们都与相交，即满足方程组 .(实际上它和同解)，求出两个无关解 .建立矩阵方程 *设3阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1,(0,1,1)T是属于-1的特征向量,求A.(1995).*设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3,(1,1,-1)T和(-1,2,1)T分别是属于1和2的特征向量,求A.(1997)*设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(-1,2,-3)T都A.(2004).*3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2, (1,-1,1)T是AB=A5-4A3+E.(1) 求B的特征值和特征向量.(2) 求B.(07)三．矩阵乘法的两个规律,矩阵分解① A(α1, α2,…, αs)= (Aα1,Aα2,…,Aαs).② 假设A=(α1, α2,…, αn), B =(β1, β2,…, βn)T,那么A B =α1β1 +α2β2 +…+αnβn .乘积矩阵AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量的各分量.(从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示.)乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量. (AB的行向量组可以用B的行向量组线性表示.)近几年考题中常见的又一类求矩阵的题是利用矩阵分解求解. 设A为3阶矩阵, α1, α2, α3是3维列向量组,知道了Aα1,Aα2,Aα3对α1, α2, α3的分解,求矩阵B,使得AP=PB. P=(α1, α2, α3).例9〔2005〕 设A为3阶矩阵, α1, α2, α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=α1+ α2+ α3, Aα2=2α2+α3, Aα3=2α2+3α3.求作矩阵B,使得A(α1, α2, α3)=( α1, α2, α3)B.解：三种方法对照方法一：设那么可化为得由于无关，得.用同样方法求得, .方法二：.得于是，.方法三(矩阵分解法)...方法三是直接求出了，并且不必要求线性无关！例10(2021)α1, α2,都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量 aα3满足Aα3=α2+α3.(1) 证明α1, α2, α3线性无关.(2) 记P=(α1, α2, α3),求P-1AP. (3) 证明A不相似于对角矩阵.(4) 求A的所有特征向量.例11〔2001〕设A 是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P=(α,Aα,A2α)可逆,并且A3α=3Aα-2A2α.(1)求3阶矩阵B使得A=PBP-1.(2)计算|A+E|.(3)求A 的特征值.用矩阵分解求行列式用矩阵分解估计秩和判断向量组的相关性(C矩阵法)四. 可逆矩阵的充分必要条件n阶矩阵A可逆 A的行列式|A|0 r(A)=n A的列(行)向量组线性无关. AX=0只有零解(AX=β有唯一解) 0不是A的特征值.(A-cE可逆c不是A的特征值.) 例12 设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.对任何有理数c, 证明A-cE可逆. 解：方法一：令,即，那么..的两根为，因此当是有理数时，.那么可逆，从而可逆.方法二：只用说明有理数不是的特征值.由，的特征值满足 .而有理数不满足此式，因此不是的特征值.例13 设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB+cE ,其中,证明A-bE和B-aE都可逆.解 方法一：只用证可逆.＝∵，可逆，得都可逆.方法二：先证不是的特征值，从而可逆.用反证法，假设有向量，值得那么， 得，与条件矛盾要证不是的特征值，只用证不是的特征值.对两侧转置，得，用上法可证不是的特征值，从而不是的特征值.例14 设是n维非零列向量,记A=E-.证明 A不可逆. (96)证明 的特征值为.不可逆1是的特征值.例15 n阶矩阵A,B满足E-AB可逆,证明E-BA也可逆,并且(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A.证明 例16 设A,B都是n阶矩阵,证明cE-AB可逆 cE-BA可逆.证明 当时，即可逆可逆.而.结论显然下设.方法一：左右，即设可逆，证可逆.构选的逆矩阵.方法二：用特征值，要证的是不是的特征值不是的特征值逆否为是的特征值是的特征值.“〞设. 那么..于是是的特征向量，特征值为.第二局部 向量组。