考研数二历年真题(2016-2002)-.doc

2016年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）2．下列曲线有渐近线的是（A） （B）（C） （D）3．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，4．曲线 上对应于的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）（Ｂ）　　(Ｃ）　（Ｄ）5．设函数，若，则（ ）（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）． （A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．7．行列式等于（A） （B）　　（C） （D）8．设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． ．10．设为周期为4的可导奇函数，且，则 ．11．设是由方程确定的函数，则 ．12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 ．13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 ．14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是 ．三、解答题15．（本题满分10分）求极限．16．（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．17．（本题满分10分）设平面区域．计算18．（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．19．（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：（1） ；（2） ．20．（本题满分11分）设函数，定义函数列，，设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．21．（本题满分11分）已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．22．（本题满分11分）设，E为三阶单位矩阵．（1） 求方程组的一个基础解系；（2） 求满足的所有矩阵．23．（本题满分11分）证明阶矩阵与相似．2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、下列反常积分中收敛的是（）（A） （B） (C) (D)2、函数在内（）（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点3、设函数，若在处连续，则（）（A） (B) (C) (D)4、设函数在连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为（）（A）0 (B)1 (C)2 (D)35、设函数满足，则与依次是（）（A）,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,-6、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则=（）（A）（B）（C）（D）7、设矩阵A=，b=,若集合Ω=，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为（）（A） (B) (C) (D) 8、设二次型在正交变换下的标准形为其中，若，则在正交变换下的标准形为（ ）(A) (B) (C) (D) 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、设10、函数在处的n 阶导数11、设函数连续，若，，则12、设函数是微分方程的解，且在处取值3，则=13、若函数由方程确定，则=14、设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，，其中E为3阶单位矩阵，则行列式=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数，，若与在是等价无穷小，求的值。

16、（本题满分10分）设，D是由曲线段及直线所形成的平面区域， ，分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若，求A的值得：17、（本题满分10分）已知函数满足，，，求的极值18、（本题满分10分）计算二重积分，其中19、（本题满分10分）已知函数，求零点的个数20、（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？21、（本题满分11分）已知函数在区间上具有2阶导数，，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明22、（本题满分11分）设矩阵且.(1) 求的值；(2) 若矩阵满足，为3阶单位阵，求.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）2、下列曲线中有渐近线的是（ ）（A） （B）（C） （D）4、曲线上对应于的点处的曲率半径是（ ）（A） （B） （C） （D）5、设函数，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）6、设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则（ ）（A）的最大值和最小值都在的边界上取得（B）的最大值和最小值都在的内部取得（C）的最大值在的内部取得，的最小值在的边界上取得（D）的最小值在的内部取得，的最大值在的边界上取得7、行列式（ ）（A） （B）（C） （D）8、设为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的（ ）（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、 .10、设是周期为的可导奇函数，且，则11、设是由方程确定的函数，则 .12、曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是 .13、一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 . 14、设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是 .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）求极限16、（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.17、（本题满分10分）设平面区域，计算.18、（本题满分10分）设函数具有2阶连续导数，满足.若，，求的表达式.19、（本题满分10分）设函数，在区间上连续，且单调增加，.证明：（Ⅰ）（I），；（II）20、（本题满分11分）设函数，.定义数列，，，，记是由曲线，直线及轴所围平面图形的面积，求极限.21、（本题满分11分）已知函数满足，且.求曲线所围图形绕直线旋转所成旋转体的体积.22、（本题满分11分）设为阶单位矩阵.（I）求方程组的一个基础解系；（II）求满足的所有矩阵.23、（本题满分11分）证明：阶矩阵与相似.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设，其中，则当时，是（ ）（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与等价的无穷小（2）设函数由方程确定，则（ ）（A） （B） （C） （D）（3）设函数，，则（ ）（A） 是函数的跳跃间断点 （B） 是函数的可去间断点（C）在处连续但不可导 （D）在处可导（4）设函数，若反常积分收敛，则（ ）（A） （B） （C） （D）（5）设，其中函数可微，则（ ）（A） （B） （C） （D）（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价（8）矩阵与相似的充分必要条件为（A）（B）（C）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) ．(10) 设函数，则的反函数在处的导数 ．(11)设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线上对应于的点处的法线方程为 ．(13)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件的解为 ．（14）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求与的值。

16）（本题满分10分）设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值17）（本题满分10分）设平面内区域由直线及围成.计算18）（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且.证明：（I）存在，使得；（II）存在，使得 （19）（本题满分11分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离20）（本题满分11分）设函数，（I）求的最小值（II）设数列满足，证明存在，并求此极限.（21）（本题满分11分）设曲线的方程为，（1）求的弧长；（2）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标22）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵23）（本题满分11分）设二次型，记I）证明二次型对应的矩阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在。