初中数学证明题常见辅助线作法规律.pdf

初中数学证明题常见辅助线作法规律 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线 辅助线，如何添？把握定理和概念 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线 也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添 角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连 要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线 三角形中有中线，延长中线等中线 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点 梯形里面作高线，平移一腰试试看 平行移动对角线，补成三角形常见 证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键 直接证明有困难，等量代换少麻烦 斜边上面作高线，比例中项一大片 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站 圆上若有一切线，切点圆心半径连 切线长度的计算，勾股定理最方便 要想证明是切线，半径垂线仔细辨 是直径，成半圆，想成直角径连弦 弧有中点圆心连，垂径定理要记全 圆周角边两条弦，直径和弦端点连 弦切角边切线弦，同弧对角等找完 要想作个外接圆，各边作出中垂线 还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦 内外相切的两圆，经过切点公切线 若是添上连心线，切点肯定在上面 要作等角添个圆，证明题目少困难 辅助线，是虚线，画图注意勿改变 假如图形较分散，对称旋转去实验 基本作图很关键，平时掌握要熟练 解题还要多心眼，经常总结方法显 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变 分析综合方法选，困难再多也会减 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线 线、角、相交线、平行线 规律 1.如果平面上有 n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n(n－1)条. 规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成〔12n(n+1)+1〕个部分. 规律 3.如果一条直线上有 n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n(n－1)条. 规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B段 AC 上，M 是 AB的中点，N是 BC 的中点. 求证：MN =12AC 证明：∵M 是 AB的中点，N是 BC 的中点 ∴AM = BM = 12AB ,BN = CN = 12BC ∴MN = MB+BN = 12AB + 12BC = 12(AB + BC) ∴MN =12AC 练习：1.如图，点 C 是线段 AB上的一点，M 是线段 BC 的中点. 求证：AM = 12(AB + BC) NMCBA MCBA  2.如图，点 B段 AC 上，M 是 AB的中点，N是 AC 的中点. 求证：MN = 12BC 3.如图，点 B段 AC 上，N是 AC 的中点，M 是 BC 的中点. 求证：MN = 12AB 规律 5.有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有12n(n－1)个. 规律 6.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个. 规律 7. 如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n（n－1）对对顶角. 规律 8.平面上若有 n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n(n－1)(n－2）个. 规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o. 规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为12n(n－1)个. 规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半 . 规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. NMCBA NMCBA 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 13.已知 AB∥DE,如规律图⑴～⑹,规律如下： 规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 1 ABC+BCD+CDE=360 EDCBA +=CDEABCBCD2 EDCBA -= CDEABCBCD3 EDCBA -=CDEABCBCD4 EDCBA +=CDEABCBCD5 EDCBA +=CDEABCBCD6 EDCBA HGFEDBCA HGFEDBCA HGFEDBCA 例：已知，BE、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC，若∠A = 45o,∠C = 55o,求∠E的度数. 解：∠A＋∠ABE =∠E＋∠ADE ① ∠C＋∠CDE =∠E＋∠CBE ② ①＋②得 ∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE =∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE ∵BE平分∠ABC、DE 平分∠ADC， ∴∠ABE =∠CBE，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A＋∠C ∴∠E = 12(∠A＋∠C) ∵∠A =45o,∠C =55o, ∴∠E =50o 三角形部分 规律 15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知 D、E 为△ABC 内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE. NMEDBCA 证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交 AB、AC 于 M、N 在△AMN 中， AM＋ AN＞MD＋DE＋NE ① 在△BDM 中，MB＋MD＞BD ② 在△CEN 中，CN＋NE＞CE ③ ①＋②＋③得 AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE 证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G, 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE ∴①＋②＋③有 AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE FGNMEDCBA 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图 P 为△ABC 内任一点， 求证：12(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 规律 16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 例：如图，已知 BD 为△ABC 的角平分线，CD 为△ABC 的外角∠ACE 的平分线，它与 BD 的延长线交于 D. 求证：∠A = 2∠D 证明：∵BD、CD 分别是∠ABC、∠ACE 的平分线 ∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2 ∵∠A = ∠ACE －∠ABC ∴∠A = 2∠1－2∠2 又∵∠D =∠1－∠2 ∴∠A =2∠D 规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o加上第三个内角的一半. 21CEDBA 例：如图，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：∠BDC = 90o＋12∠A 证明：∵BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o ∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A① ∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC② 把②式代入①式得 2(180o－∠BDC)= 180o－∠A 即：360o－2∠BDC =180o－∠A ∴2∠BDC = 180o＋∠A ∴∠BDC = 90o＋12∠A 规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o减去第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD 分别平分∠EBC、∠FCB， 求证：∠BDC = 90o－12∠A 证明：∵BD、CD 分别平分∠EBC、∠FCB ∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2 ∴2∠1 =∠A＋∠ACB ① 2∠2 =∠A＋∠ABC ② DCBA21 ①＋②得 2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A 2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A ∴（∠1＋∠2）= 90o＋12∠A ∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴∠BDC = 180o－(90o＋12∠A) ∴∠BDC = 90o－12∠A 规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半. 例：已知，如图，在△ABC 中，∠C＞∠B， AD⊥BC 于 D， AE 平分∠BAC. 求证：∠EAD = 12(∠C－∠B) 证明：∵AE 平分∠BAC ∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC ∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C) ∴∠EAC = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕 ∵AD⊥BC 21FEDCBA EDCBA ∴∠DAC = 90o －∠C ∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC ∴∠EAD = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C) = 90o－12(∠B＋∠C)－90o＋∠C = 12(∠C－∠B) 如果把 AD 平移可以得到如下两图，FD⊥BC 其它条件不变，结论为∠EFD = 12(∠C－∠B). 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力. 规律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知 D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC ABCDEFFEDCBA 证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E， ∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC＞∠DEC 同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC 证法（二）：连结 AD，并延长交 BC 于 F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC 规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求证：BE＋CF＞EF 证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC 在△BDE 和△NDE 中， DN = DB FABCDEDCBA 4321NFEDCBA ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN＋FN＞EF ∴BE＋CF＞EF 规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF 证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FM △BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o ∴∠FDM = ∠EDF = 90o △EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF ∴△EDF≌△MDF ∴EF = MF ∵在△CMF 中，CF＋CM ＞MF BE＋CF＞EF （此题也可加倍 FD，证法同上） 规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB＋AC＞2AD 证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BE ∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中 BD = CD ∠1 = ∠2 MABCDEF12345 12EDCBA AD = ED ∴△ACD≌△EBD ∵△ABE 中有 AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD 规律 24.截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a＞b ②a±b = c ③a±b = c±d 例：已知，如图，在△ABC 中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P 为 AD 上任一点， 求证：AB－AC＞PB－PC 证明：⑴截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN 在△APN 和△APC 中， AN = AC ∠1 = ∠2 AP = AP ∴△APN≌△APC P12NDCBA ∴PC = PN ∵△BPN 中有 PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC ⑵补短法：延长 AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP ∴△ABP≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有 CM ＞PM－PC ∴AB－AC＞PB－PC 练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o,AD、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点 O 求证：AC = AE＋CD 2.已知，如图，AB∥CD∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB＋CD 规律 25.证明两条线段相等的步骤： ABCD21PM 4321EDCBA ①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。

②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. ③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形. 例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF 证明：∵∠ADF =∠B＋∠3 ∠AEF = ∠C＋∠4 又∵∠3 = ∠4 ∠B = ∠C ∴∠ADF = ∠AEF 在△ADF 和△AEF 中 ∠ADF = ∠AEF ∠1 = ∠2 AF = AF ∴△ADF≌△AEF ∴DF = EF 4321FEDCBA 规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等. 例：已知，如图 Rt△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90o，过 A 作任一条直线AN，作 BD⊥AN 于 D，CE⊥AN 于 E，求证：DE = BD－CE 证明：∵∠BAC = 90o, BD⊥AN ∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90o ∴∠2 = ∠3 ∵BD⊥AN CE⊥AN ∴∠BDA =∠AEC = 90o 在△ABD 和△CAE 中， ∠BDA =∠AEC ∠2 = ∠3 AB = AC ∴△ABD≌△CAE ∴BD = AE 且 AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE 规律 27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD 为△ABC 的中线，且 CF⊥AD 于 F，BE⊥AD 的延长线于 E 321NEDCBA 求证：BE = CF 证明：（略） 规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知 AC = BD，AD⊥AC 于 A，BCBD 于 B 求证：AD = BC 证明：分别延长 DA、CB 交于点 E ∵AD⊥AC BC⊥BD ∴∠CAE = ∠DBE = 90o 在△DBE 和△CAE 中 ∠DBE =∠CAE BD = AC ∠E =∠E ∴△DBE≌△CAE ∴ED = EC，EB = EA ∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC 21DCBAFE OEDCBA 规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD 证明：连结 AC（或 BD） ∵AB∥CD，AD∥BC ∴∠1 = ∠2 在△ABC 和△CDA 中， ∠1 = ∠2 AC = CA ∠3 = ∠4 ∴△ABC≌△CDA ∴AB = CD 练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， 求证：BE = DF 规律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

可归结为“角分垂等腰归”. 4321DCBA EFDCBA 例：已知，如图，在 Rt△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD 的延长线于 E 求证：BD = 2CE 证明：分别延长 BA、CE 交于 F ∵BE⊥CF ∴∠BEF =∠BEC = 90o 在△BEF 和△BEC 中 ∠1 = ∠2 BE = BE ∠BEF =∠BEC ∴△BEF≌△BEC ∴CE = FE =12CF ∵∠BAC = 90o , BE⊥CF ∴∠BAC = ∠CAF = 90o ∠1＋∠BDA = 90o ∠1＋∠BFC = 90o ∠BDA = ∠BFC 在△ABD 和△ACF 中 21EFDCBA ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC ∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE 练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD 于 D， 求证：AB－AC = 2CD 规律 31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形. 例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC，AC = BD， 求证：∠A = ∠D 证明：（连结 BC，过程略） 规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. OABDC 21DCBA 例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D 求证：∠ABC = ∠DCB 证明：分别取 AD、BC 中点 N、M， 连结 NB、NM、NC（过程略） 规律 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题. 例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P 为 BN 上一点，且 PD⊥BC 于 D，AB＋BC = 2BD， 求证：∠BAP＋∠BCP = 180o 证明：过 P 作 PE⊥BA 于 E ∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 ∴PE = PD 在 Rt△BPE 和 Rt△BPD 中 BP = BP PE = PD ∴Rt△BPE≌Rt△BPD ∴BE = BD ∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE BADC NPED CBA21 ∴AE = CD ∵PE⊥BE，PD⊥BC ∠PEB =∠PDC = 90o 在△PEA 和△PDC 中 PE = PD ∠PEB =∠PDC AE =CD ∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP ∵∠BAP＋∠EAP = 180o ∴∠BAP＋∠BCP = 180o 练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于 P， PD⊥BM 于 M，PF⊥BN 于 F，求证：BP 为∠MBN 的平分线 FMNPBADC 2. 已知，如图，在△ABC 中，∠ABC =100o，∠ACB = 20o，CE 是∠ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若∠CBD = 20o，求∠CED 的度数。

规律 34.有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC 于 D， 求证：∠BAC = 2∠DBC 证明：（方法一）作∠BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则∠1 = ∠2 = 12∠BAC 又∵AB = AC ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB = 90o ∵BD⊥AC ∴∠DBC＋∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC EDCBA 21EDCBA ∴∠BAC = 2∠DBC （方法二）过 A 作 AE⊥BC 于 E（过程略） （方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略） ⑵有底边中点时，常作底边中线 例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC于 F， 求证：DE = DF 证明：连结 AD. ∵D 为 BC 中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题 例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点E、F，使 AE = AF，求证：EF⊥BC 证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = AC FEDCBA ∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o ∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o ∴∠BCA＋∠ACN = 90o 即∠BCN = 90o ∴NC⊥BC ∵AE = AF ∴∠AEF = ∠AFE 又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC ⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F 求证：DF = EF NFECBA 证明：（证法一）过 D 作 DN∥AE，交 BC 于 N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E， ∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC 在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF （证法二）过 E 作 EM∥AB 交 BC 延长线于 M,则∠EMB =∠B（过程略） ⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例：已知，如图，△ABC 中，AB =AC，E 在 AC上，D 在BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE 21NFEDCBA 21MFEDCBA NMFEDCBA 求证：DE⊥BC 证明：（证法一）过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F，则 ∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE 又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o ∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC （证法二）过点 D 作 DN∥BC 交 CA 的延长线于 N，（过程略） （证法三）过点 A 作 AM∥BC 交 DE 于 M，（过程略） ⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形 例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P 为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB 的度数. 解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE 则∠BAE =∠ABE = 60o AE = AB = BE ∵AB = AC ∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE ∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80o －60o = 20o ∴∠ACE = 12(180o－∠EAC)= 80o ∵∠ACB= 12(180o－∠BAC)= 50o ∴∠BCE =∠ACE－∠ACB = 80o－50o = 30o ∵∠PCB = 30o ∴∠PCB = ∠BCE ∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o PECBA ∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10o ∵∠PBC = 10o ∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC 和△EBC 中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC ∠PCB = ∠BCE ∴△PBC≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB = 12(180o－∠ABP)= 70o 解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：以 BC 为一边作等边三角形△BCE，连结 AE,则 EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC ∴E 在 BC 的中垂线上 同理 A 在 BC 的中垂线上 ∴EA 所在的直线是 BC 的中垂线 ∴EA⊥BC ∠AEB = 12∠BEC = 30o =∠PCB 由解法一知：∠ABC = 50o ∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC ∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA ∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB = 12(180o－∠ABP) = 12(180o－40o)= 70o 规律 35.有二倍角时常用的辅助线 ⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知，如图，在△ABC 中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C， 求证：AB＋BD = AC PECBA 证明：延长 AB 到 E，使 BE = BD，连结 DE 则∠BED = ∠BDE ∵∠ABD =∠E＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC = 2∠C ∴∠E = ∠C 在△AED 和△ACD 中 ∠E = ∠C ∠1 = ∠2 AD = AD ∴△AED≌△ACD ∴AC = AE ∵AE = AB＋BE ∴AC = AB＋BE 即 AB＋BD = AC ⑵平分二倍角 例：已知，如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于 D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC = ∠ACB 证明：作∠BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC 21EDCBA ∵BD⊥AC ∴∠CBD ＋∠C = 90o ∴∠CAE＋∠C= 90o ∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o ∴AE⊥BC ∴∠ABC＋∠BAE = 90o ∵∠CAE＋∠C= 90o ∠BAE = ∠CAE ∴∠ABC = ∠ACB ⑶加倍小角 例：已知，如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于 D，∠BAC = 2∠DBC 求证：∠ABC = ∠ACB 证明：作∠FBD =∠DBC,BF 交 AC 于 F（过程略） 规律 36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来. DECBA FDCBA 例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF 为 AB 的垂直平分线，EF 交 BC 于 F，交 AB 于 E 求证：BF =12FC 证明：连结 AF，则 AF = BF ∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∵∠BAC = 120o ∴∠B =∠C∠BAC =12(180o－∠BAC) = 30o ∴∠FAB = 30o ∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120o－30o =90o 又∵∠C = 30o ∴AF = 12FC ∴BF =12FC 练习：已知，如图，在△ABC 中，∠CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线DE 交于点 D，DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 延长线于 N FECBA 求证：BM = CN 规律 37. 有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在△ABC 中，∠B =2∠C，AD⊥BC 于 D 求证：CD = AB＋BD 证明：（一）在 CD 上截取 DE = DB，连结 AE，则 AB = AE ∴∠B =∠AEB ∵∠B = 2∠C ∴∠AEB = 2∠C 又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC ∴∠C =∠EAC ∴AE = CE 又∵CD = DE＋CE ∴CD = BD＋AB （二）延长 CB 到 F，使 DF = DC，连结 AF 则 AF =AC（过程略） 规律 38.有中点时常构造垂直平分线. NMEDCBA EDCBA FDCBA 例：已知，如图，在△ABC 中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD 求证：△ABC 为直角三角形 证明：过 D 作 DE⊥BC，交 AC 于 E，连结 BE，则 BE = CE， ∴∠C =∠EBC ∵∠ABC = 2∠C ∴∠ABE =∠EBC ∵BC = 2AB，BD = CD ∴BD = AB 在△ABE 和△DBE 中 AB = BD ∠ABE =∠EBC BE = BE ∴△ABE≌△DBE ∴∠BAE = ∠BDE ∵∠BDE = 90o ∴∠BAE = 90o 即△ABC 为直角三角形 规律 39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题. EDCBA 例：已知，如图，在△ABC 中，∠A = 90o，DE 为 BC 的垂直平分线 求证：BE2－AE2 = AC2 证明：连结 CE，则 BE = CE ∵∠A = 90o ∴AE2＋AC2 = EC2 ∴AE2＋AC2= BE2 ∴BE2－AE2 = AC2 练习：已知，如图，在△ABC 中，∠BAC = 90o，AB = AC，P 为 BC 上一点 求证：PB2＋PC2= 2PA2 规律 40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中. 例：已知，如图，在△ABC 中，∠B = 45o，∠C = 30o，AB =2，求 AC 的长. 解：过 A 作 AD⊥BC 于 D ∴∠B＋∠BAD = 90o， ∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45o， EDCBA PCBA ∴AD = BD ∵AB2 = AD2＋BD2，AB =2 ∴AD = 1 ∵∠C = 30o，AD⊥BC ∴AC = 2AD = 2 四边形部分 规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 例：已知,□ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 的周长比△BOC 的周长多 8cm，求这个四边形各边长. 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴AB = CD，AD = CB，AO = CO ∵AB＋CD＋DA＋CB = 60 AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8 ∴AB＋BC = 30，AB－BC =8 ∴AB = CD = 19，BC = AD = 11 答：这个四边形各边长分别为 19cm、11cm、19cm、11cm. 规律 42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. DCBA （例题如上） 规律 43.有平行线时常作平行线构造平行四边形 例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB 于 D，AE 平分∠CAB 交 CD 于 F，过 F 作FH∥AB 交 BC 于 H 求证：CE = BH 证明：过 F 作 FP∥BC 交 AB 于 P，则四边形 FPBH 为平行四边形 ∴∠B =∠FPA，BH = FP ∵∠ACB = 90o，CD⊥AB ∴∠5＋∠CAB = 45o，∠B＋∠CAB = 90o ∴∠5 =∠B ∴∠5 =∠FPA 又∵∠1 =∠2，AF = AF ∴△CAF≌△PAF ∴CF = FP ∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B ∴∠3 =∠4 ∴CF = CE 54321PHFEDCBA ∴CE = BH 练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC 求证：AB = EF＋GH 规律 44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在□ABCD 中，AB = 2BC，M 为 AB 中点 求证：CM⊥DM 证明：延长 DM、CB 交于 N ∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴AD = BC，AD∥BC ∴∠A = ∠NBA ∠ADN =∠N 又∵AM = BM ∴△AMD≌△BMN ∴AD = BN ∴BN = BC ∵AB = 2BC，AM = BM ∴BM = BC = BN GHFEBAC 321NMBADC ∴∠1 =∠2，∠3 =∠N ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o， ∴∠1＋∠3 = 90o ∴CM⊥DM 规律 45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF 规律 46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半. 如图：S△BEC = 12S□ABCD 规律 47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图：S△AOB ＋ S△DOC = S△BOC＋S△AOD = 12S□ABCD FEODCBA EDCBA ODCBA  规律 48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 如图：AO2＋OC2 = BO2 ＋DO2 规律 49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形. 如图：四边形 GHMN 是矩形 （规律 45～规律 49 请同学们自己证明） 规律 50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线. 例：已知，如图，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，且 BE = ED，P 为对角线BD 上一点，PF⊥BE 于 F，PG⊥AD 于 G 求证：PF＋PG = AB 证明：证法一：过 P 作 PH⊥AB 于 H，则四边形 AHPG 为矩形 ∴AH = GP PH∥AD ∴∠ADB =∠HPB NPHGFEDCBA NMHGDCBA ADCBOOBCDA ∵BE = DE ∴∠EBD = ∠ADB ∴∠HPB =∠EBD 又∵∠PFB =∠BHP = 90o ∴△PFB≌△BHP ∴HB = FP ∴AH＋HB = PG＋PF 即 AB = PG＋PF 证法二：延长 GP 交 BC 于 N，则四边形 ABNG 为矩形，（证明略） 规律 51.直角三角形常用辅助线方法： ⑴作斜边上的高 例：已知，如图,若从矩形 ABCD 的顶点 C 作对角线 BD 的垂线与∠BAD 的平分线交于点 E 求证：AC = CE 证明：过 A 作 AF⊥BD，垂足为 F，则 AF∥EG ∴∠FAE = ∠AEG ∵四边形 ABCD 为矩形 GOFEDCBA ∴∠BAD = 90o OA = OD ∴∠BDA =∠CAD ∵AF⊥BD ∴∠ABD＋∠ADB = ∠ABD＋∠BAF = 90o ∴∠BAF =∠ADB =∠CAD ∵AE 为∠BAD 的平分线 ∴∠BAE =∠DAE ∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC 即∠FAE =∠CAE ∴∠CAE =∠AEG ∴AC = EC ⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线： ①有斜边中点时 例：已知，如图，AD、BE 是△ABC 的高， F 是 DE 的中点，G 是 AB 的中点 求证：GF⊥DE 证明：连结 GE、GD ∵AD、BE 是△ABC 的高，G 是 AB 的中点 GFEDCBA ∴GE = 12AB，GD = 12AB ∴GE = GD ∵F 是 DE 的中点 ∴GF⊥DE ②有和斜边倍分关系的线段时 例：已知，如图，在△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，且 DA⊥BA 于 A，AC = 12BD 求证：∠ACB = 2∠B 证明：取 BD 中点 E，连结 AE，则 AE = BE = 12BD ∴∠1 =∠B ∵AC = 12BD ∴AC = AE ∴∠ACB =∠2 ∵∠2 =∠1＋∠B ∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B 21EDCBA 规律 52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等. 例：已知，如图，过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P，作 PE⊥BC 于 E，作PF⊥CD 于 F 求证：AP = EF 证明:连结 AC 、PC ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴BD 垂直平分 AC，∠BCD = 90o ∴AP = CP ∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD = 90o ∴四边形 PECF 为矩形 ∴PC = EF ∴AP = EF 规律 53.有正方形一边中点时常取另一边中点. 例：已知,如图，正方形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，MN⊥MD，BN 平分∠CBE并交 MN 于 N 求证：MD = MN 证明：取 AD 的中点 P，连结 PM，则 DP = PA =12AD ∵四边形 ABCD 为正方形 PFEDCBA ∴AD = AB, ∠A =∠ABC = 90o ∴∠1＋∠AMD = 90o，又 DM⊥MN ∴∠2＋∠AMD = 90o ∴∠1 =∠2 ∵M 为 AB 中点 ∴AM = MB = 12AB ∴DP = MB AP = AM ∴∠APM =∠AMP = 45o ∴∠DPM =135o ∵BN 平分∠CBE ∴∠CBN = 45o ∴∠MBN =∠MBC＋∠CBN = 90o＋45o= 135o 即∠DPM =∠MBN ∴△DPM≌△MBN ∴DM = MN 注意：把 M 改为 AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。

练习：已知，Q 为正方形 ABCD 的 CD 边的中点，P 为 CQ 上一点，且 AP = PC＋BC 21PNMEDCBA 求证：∠BAP = 2∠QAD 规律 54.利用正方形进行旋转变换 旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法. 旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件. 旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中. 例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90o，D 为 BC边上任一点 求证：2AD2 = BD2＋CD2 证明：把△ABD 绕点 A 逆时针旋转 90o得△ACE ∴BD = CE ∠B = ∠ACE ∵∠BAC = 90o ∴∠DAE = 90o ∴DE2 = AD2＋AE2 = 2AD2 ∵∠B＋∠ACB = 90o QPDCBA EDCBA ∴∠DCE = 90o ∴CD2＋CE2 = DE2 ∴2AD2 = BD2＋CD2 注意：把△ADC 绕点 A 顺时针旋转 90o 也可，方法同上。

练习：已知，如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于 F 求证：BE = CF ＋AE 规律 55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形. 例：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、DA 的中点，BE 与 CF 交于P 点 求证：AP = AB 证明：延长 CF交 BA 的延长线于 K ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴BC = AB = CD = DA ∠BCD =∠D =∠BAD = 90o FEDCBA ∵E、F 分别是 CD、DA 的中点 ∴CE = 12CD DF = AF = 12AD ∴CE = DF ∴△BCE≌△CDF ∴∠CBE =∠DCF ∵∠BCF＋∠DCF = 90o ∴∠BCF＋∠CBE = 90o ∴BE⊥CF 又∵∠D =∠DAK = 90o DF = AF ∠1 =∠2 ∴△CDF≌△KAF ∴CD = KA ∴BA = KA 又∵BE⊥CF ∴AP = AB 练习：如图，在正方形 ABCD 中，Q 在 CD 上，且 DQ = QC，P 在 BC 上，且 AP = CD＋CP 求证：AQ 平分∠DAP 21KPFEDCBA QPDCBA  规律 56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形. 例：已知，如图，等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7 求∠B 的度数 解：过 A 作 AE∥CD 交 BC 于 E，则四边形 AECD 为平行四边形 ∴AD = EC， CD = AE ∵AB = CD = 4, AD = 3, BC = 7 ∴BE = AE = AB = 4 ∴△ABE 为等边三角形 ∴∠B = 60o 规律 57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形. 例：已知，如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90o，BD = BC，BD 交 AC 于 O 求证：CO = CD DCBAE 证明：过 A、D 分别作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F 则四边形AEFD 为矩形 ∴AE = DF ∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90o， ∴AE = BE = CE =12BC，∠ACB = 45o ∵BC = BD ∴AE = DF = 12BD 又∵DF⊥BC ∴∠DBC = 30o ∵BD = BC ∴∠BDC =∠BCD = 12(180o－∠DBC) = 75o ∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30o＋45o = 75o ∴∠BDC =∠DOC ∴CO = CD ODCBAFE 规律 58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形. 例：已知，如图，等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC 于 E 求 DE 的长. 解：过 D 作 DF∥AC，交 BC 的延长线于 F，则四边形 ACFD 为平行四边形 ∴AC = DF， AD = CF ∵四边形 ABCD 为等腰梯形 ∴AC = DB ∴BD = FD ∵DE⊥BC ∴BE = EF =12BF =12(BC＋CF) =12(BC＋AD) =12×10 = 5 ∵AC∥DF，BD⊥AC ∴BD⊥DF FEDCBA ∵BE = FE ∴DE = BE = EF = 12BF = 5 答：DE 的长为 5. 规律 59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形. 例：已知，如图，在四边形 ABCD 中，有 AB = DC，∠B =∠C，AD＜BC 求证：四边形 ABCD 等腰梯形 证明：延长 BA、CD，它们交于点 E ∵∠B =∠C ∴EB = EC 又∵AB = DC ∴AE =DE ∴∠EAD =∠EDA ∵∠E＋∠EAD＋∠EDA = 180o ∠B＋∠C＋∠E = 180o ∴∠EAD =∠B ∴AD∥BC ∵AD≠BC，∠B =∠C ∴四边形 ABCD 等腰梯形 EDCBA （此题还可以过一顶点作 AB 或 CD 的平行线；也可以过 A、D 作 BC 的垂线） 规律 60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形. 例：已知,如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 中点，EF⊥AB 于 F 求证：S梯形 ABCD = EF·AB 证明：过 E 作 MN∥AB，交 AD 的延长线于 M，交 BC于 N，则四边形 ABNM 为平行四边形 ∵EF⊥AB ∴S□ABNM = AB·EF ∵AD∥BC ∴∠M =∠MNC 又∵DE = CE ∠1 =∠2 ∴△CEN≌△DEM ∴S△CEN = S△DEM ∴S梯形 ABCD = S五边形 ABNED＋S△CEN = S五边形 ABNED＋S△DEM = S梯形 ABCD = EF·AB 21NMFEDCBA 规律 61. 有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形. 例：已知,如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD 于 A，DE = EC = BC 求证：∠AEC = 3∠DAE 证明：连结 BE 并延长交 AD 的延长线于 N ∵AD∥BC ∴∠3 =∠N 又∵∠1 =∠2 ED = EC ∴△DEN≌△CEB ∴BE = EN DN = BC ∵AB⊥AD ∴AE = EN = BE ∴∠N =∠DAE ∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE ∵DE = BC BC = DN ∴DE = DN ∴∠N =∠1 ∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE 3NE21DCBA ∴∠2 =∠DAE ∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE 即∠AEC = 3∠DAE 规律 62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线. 例：已知,如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，E、F 分别是 AD、BC 的中点，且 EF⊥BC 求证：∠B =∠C 证明：过 E 作 EM∥AB, EN∥CD,交 BC 于 M、N，则得□ABME，□NCDE ∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE ∵AE = DE ∴BM = CN 又∵BF = CF ∴FM = FN 又∵EF⊥BC ∴EM = EN ∴∠1 =∠2 ∵AB∥EM， CD∥EN ∴∠1 =∠B ∠2 =∠C 21NMFEDCBA ∴∠B = ∠C 规律 63. 任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半. 例：已知,如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC 与 BD 交于 O，且 AC⊥BD，AC = 4，BD = , 求梯形 ABCD 的面积. 解：∵AC⊥BD ∴S△ABD =12AO·BD S△BCD = 12CO·BD ∴S梯形 ABCD = S△ABD ＋S△BCD =12AO·BD＋12CO·BD =12(AO＋CO)·BD 即 S梯形 ABCD = 12AC·BD = 12×4× = 答：梯形 ABCD 面积为. ODCBA 规律 64.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题. 例:已知：△ABC 中，D 为 AB 中点，E 为 BC 的三等分点，（BE＞CE）AE、CD交于点 F 求证：F 为 CD 的中点 证明：过 D 作 DN∥AE 交 BC 于 N ∵D 为 AB 中点 ∴BN = EN 又∵E 为 BC 的三等分点 ∴BN = EN = CE ∵DN∥AE ∴F 为 CD 的中点 规律 65.有下列情况时常作三角形中位线. ⑴有一边中点； ⑵有线段倍分关系； ⑶有两边（或两边以上）中点. 例：如图，AE 为正方形 ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交 BD、BC 于 F、E，AC、BD 相交于 O 6543O21NFEDCBA NFEDCBA 求证：OF =12CE 证明：取 AE 的中点 N，连结 ON,则 ON 为△ACE 的中位线 ∴ON∥CE，ON =12CE ∴∠6 =∠ONE ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴∠3 =∠4 = 45o ∴∠5 =∠3＋∠1, ∠6 =∠4＋∠2 ∵∠1 =∠2 ∴∠5 =∠6 ∵∠6 =∠ONE ∴∠ONE =∠5 ∴ON = OF ∴OF =12CE 规律 66.有下列情况时常构造梯形中位线 ⑴有一腰中点 ⑵有两腰中点 ⑶涉及梯形上、下底和 例 1：已知,如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB = 90o ,E 为 CD 的中点，连结 AE、BE 求证：AE = BE 证明：取 AB的中点 F，连结 EF，则 EF∥AD ∴∠DAB =∠EFB =90o ∴EF⊥AB ∴EF 为 AB 的中垂线 ∴AE = BE 例 2：从□ABCD 的顶点 ABCD 向形外的任意直线 MN 引垂线 AA’、BB’、CC’、DD’，垂足分别为 A’、B’、C’、D’ 求证：AA’＋CC’ = BB’＋DD’ 证明：连结 AC、BD，它们交于点 O，过O作 OE⊥MN 于 E，则 AA’∥OE∥CC’ ∵四边形 ABCD 为平行四边形 ∴AO = CO ∴A’E = C’E ∴AA’＋CC’ = 2OE FEDCBA D'C'B'A'ONMEDCBA 同理可证：BB’＋DD’ = 2OE ∴AA’＋CC’ = BB’＋DD’ 规律 67.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形. 规律 68.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形. 规律 69.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形. 规律 70.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形. 规律 71.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形. 规律 72.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）. 以上各规律请同学们自己证明.（利用中位线证明） 规律 73.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形. 例：已知，如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，对角线AC、BD 相交于 O，∠AOB = 60o ，且 E、F、M 分别为 OD、OA、BC 的中点 求证：△MEF 是等边三角形 证明：连结 BF、CE MOFEDCBA ∵四边形 ABCD 为等腰梯形 ∴AD = BC，AC = BD 又∵AB 为公共边 ∴△ABD≌△BAC ∴∠CAB =∠DBA ∴OA = OB ∵∠AOB = 60o ∴△ABO 为等边三角形 又∵F 为 AO 中点 ∴BF⊥AC ∵M 为 BC 中点 ∴MF =12BC 同理可证：ME =12BC ∵E、F 分别为 OD、OA 中点 ∴EF =12AD ∵AD = CB ∴ME = MF = EF ∴△MEF 为等边三角形 规律 74.如果矩形对角线相交所成的钝角为 120o，则矩形较短边是对角线长的一半. 例：已知，四边形 ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点 O，∠AOB = 120O. 求证：AB =12BD （证明略） 规律 75.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积. 例：已知,如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 中点，EF⊥AB 于 F 求证：S梯形 ABCD = EF·AB 证明：过 E 作 MN∥AB，交 AD 的延长线于 M，交 BC 于 N，则四边形ABNM 为平行四边形 ∵EF⊥AB ∴S□ABNM = AB·EF ∵AD∥BC ∴∠M =∠MNC 又∵DE = CE ∠1 =∠2 21NMFEDCBA ODCBA ∴△CEN≌△DEM ∴S△CEN = S△DEM ∴S梯形 ABCD = S五边形 ABNED＋S△CEN = S五边形 ABNED＋S△DEM 规律 76.若菱形有一内角为 120o，则菱形的周长是较短对角线长的 4 倍. 例：已知，四边形 ABCD是菱形，∠ABC=120O. 求证:AB = BD （证明略） 相似形和解直角三角形部分 规律 77.当图形中有叉线（基本图形如下）时，常作平行线. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，F 为 AB 上任一点，CF 交 AD 于 E 求证：AFEFABEC 证明：过 F作 FN∥BC 交 AD于 N ∴AFFNABBD FNEFCDCE 又∵CD = BD NFEDCBA CDBA ∴AFEFABEC 规律 78.有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形. 例：AD为△ABC 的中线，E 为 AD 上一点，BE、CE 的延长线分别交 AC、AB于点 M、N 求证：MN∥BC 证明：延长 AD 至 F，使 DF = DE，连结 BF、CF，则四边形 BFCE 为平行四边形 ∴BF∥CN CF∥BM ∴ANAENBEF AEAMEFMC ∴ANAMNBMC ∴MN∥BC 规律 79.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形 . ⑴有特殊角时，如有 30o、45o、60o、120o、135o角时. ⑵涉及有关锐角三角函数值时. 构造直角三角形经常通过作垂线来实现. MNFEDCBA 例：一轮船自西向东航行，在 A处测得某岛 C 在北偏东 60o的方向上，船前进 8海里后到达 B，再测 C 岛在北偏东 30的方向上，问船再前进多少海里与 C 岛最近最近距离是多少 解：由题可作图，且∠CAB = 60o ，∠ABC = 120o ，AB = BC = 8（海里） 在 Rt△ABC 中，BC = 8，∠CBD = 60o ， ∴BD = BC·cos60o = 8×12= 4（海里） CD = BC·sin60o = 8×32= 43（海里） 答：船再前进 4 海里就与 C 最近，最近距离是43海里. 规律 80. 0o、30o、45o、60o、90o角的三角函数值表 三角函数 0o 30o 45o 60o 90o sin A 0 12 22 32 1 cos A 1 32 22 12 0 tan A 0 33 1 3 － cot A － 3 1 33 0 东北DCBA 另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口诀来记忆： 0o可记为北京区号不存在，即：010 不存在，90o正好相反 30o、45o、60o可记为： 1、2、3、3、2、1， 3、9、27， 弦比 2，切比 3， 分子根号别忘添. 其中余切值可利用正切与余切互为倒数求得. 规律 81. 同角三角函数之间的关系： （1）.平方关系：22sincos1 （2）.倒数关系：tancot1 （3）.商数关系：sintancos coscotsin 规律 82. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 规律 83. 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值. 规律 84.三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半. 例：已知△ABC 中,∠A = 60o,AB = 6,AC = 4,求△ABC 的面积。

解：作 BD⊥AC 于 D 在 Rt△ABD 中，BD = AB·sinA ∴S△ABC = 12 AC·BD =12AC·AB·sinA = 12×4×6×sin60o = 12×32 = 63 规律 85.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的2倍. 规律 86.在含有 30o角的直角三角形中，60o角所对的直角边是 30o角所对的直角边的3倍.（即 30o角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍3.） 规律 87.直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的 2 倍，则斜边是较短直角边的5倍. 圆 部 分 DCBA 规律 88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题. 例：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C、D二点.求证：AC = BD 证明:过 O作 OE⊥AB 于 E ∵O 为圆心，OE⊥AB ∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD 练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是 AB 上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O 的半径. 规律 89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知 AB 是⊙O 的直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证： ACBD 证明：（一）连结 OC、OD ∵M、N 分别是 AO、BO 的中点 OEDCBA POBA ∴OM = 12AO、ON = 12BO ∵OA = OB ∴OM = ON ∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB ∴ACBD （二）连结 AC、OC、OD、BD ∵M、N 分别是 AO、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD ∴ACBD 规律 90.有弦中点时常连弦心距 例：如图，已知 M、N 分别是⊙O 的弦 AB、CD 的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM 证明：连结 OM、ON ∵O 为圆心，M、N 分别是弦 AB、CD 的中点 ONMDCBA ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM ∵∠AMN = 90o－∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM 规律 91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距. 例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P 为 O1、O2的中点，过 P 的直线分别交⊙O1、⊙O2于 A、C、D、B.求证：AC = BD 证明：过 O1作 O1M⊥AB 于 M,过 O2作 O2N⊥AB 于 N，则 O1M∥O2N ∴1122O MO PO NO P ∵O1P = O2P ∴O1M = O2N ∴AC = BD 规律 92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径 ONMDCBA PO2O1NMDCBA ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角 例：如图，已知 D、E 分别为半径 OA、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD = CE 证明：连结 OC ∵C 为弧 AB 的中点 ∴ABBC ∴∠AOC =∠BOC ∵D、E 分别为 OA、OB 的中点，且 AO = BO ∴OD = OE = 12AO = 12BO 又∵OC = OC ∴△ODC≌△OEC ∴CD = CE 规律 93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 规律 94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半. 规律 95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. OEDCBA 例：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为 AC 延长线上一点，且 AC = PC,PB 的延长线交⊙O 于 D，求证：AC = DC 证明：连结 AD ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADP = 90o ∵AC = PC ∴AC = CD =12AP 练习：如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA = 90o ,以 BC 为直径的⊙O交 AB 于 E，D 为 AC 中点，连结 BD 交⊙O 于 F.求证：BCCFBEEF 规律 96.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角. 规律 97.有等弧时常作辅助线有以下几种： ⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角 练习：1.如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，交点为 E，F 为 DC 延长线上一点，连结 AF 交⊙O 于 M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结 BM) 2.如图，△ABC 内接于⊙O，D、E 在 BC 边上，且 BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC PODCBA 2题图GOFEDCBA211题图FMOEDCBA （提示如图） 规律 98.有弦中点时，常构造三角形中位线. 例：已知，如图，在⊙O 中，AB⊥CD，OE⊥BC 于 E，求证：OE =12AD 证明：作直径 CF，连结 DF、BF ∵CF 为⊙O 的直径 ∴CD⊥FD 又∵CD⊥AB ∴AB∥DF ∴ADBF ∴AD = BF ∵OE⊥BC O 为圆心 CO = FO ∴CE = BE ∴OE =12BF ∴OE =12AD 规律 99.圆上有四点时，常构造圆内接四边形. OFEDCBA 例：如图，△ABC 内接于⊙O，直线 AD 平分∠FAC，交⊙O 于 E，交 BC 的延长线于 D，求证：AB·AC = AD·AE 证明：连结 BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2 ∵四边形 ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE∽△ADC ∴AEABACAD ∴AB·AC = AD·AE 规律 100.两圆相交时，常连结两圆的公共弦 例：如图，⊙O1与⊙O2相交于 A、B，过 A 的直线分别交⊙O1、⊙O2于 C、D，过 B 的直线分别交⊙O1、⊙O2于 E、F.求证：CE∥DF 证明：连结 AB ∵四边形为圆内接四边形 ∴∠ABF =∠C 同理可证：∠ABE =∠D ∵∠ABF ＋∠ABE = 180o 321OFEDCBA O2O1FEDCBA ∴∠C＋∠D = 180o ∴CE∥DF 规律 101.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法： ⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可. ⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可. 例 1：如图，P 为⊙O 外一点，以 OP 为直径作圆交⊙O 于 A、B 两点，连结PA、PB. 求证：PA、PB 为⊙O 的切线 证明：连结 OA ∵PO 为直径 ∴∠PAO = 90o ∴OA⊥PA ∵OA 为⊙O 的半径 ∴PA 为⊙O 的切线 同理：PB 也为⊙O 的切线 POBA 例 2：如图，同心圆 O，大圆的弦 AB = CD，且 AB 是小圆的切线，切点为E，求证：CD 是小圆的切线 证明：连结 OE，过 O 作 OF⊥CD 于 F ∵OE 为半径，AB 为小圆的切线 ∴OE⊥AB ∵OF⊥CD, AB = CD ∴OF = OE ∴CD 为小圆的切线 练习：如图，等腰△ABC，以腰 AB 为直径作⊙O 交底边 BC 于 P，PE⊥AC 于E, 求证：PE 是⊙O 的切线 规律 102.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题. 例：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D 是 AB 上一点，以 BD 为直径的⊙O 切 AC 于 E，求 AD 长. 解：连结 OE，则 OE⊥AC OFEDCBA POECBA ∵BC⊥AC ∴OE∥BC ∴OEAOBCAB 在 Rt△ABC 中，AB = 222212915ACBC ∴15915OEABOBOEAB ∴OE = OB = 458 ∴BD = 2OB = 454 ∴AD = AB－DB = 15－454= 154 答：AD的长为154. 练习：如图，⊙O 的半径 OA⊥OB，点 P 在 OB的延长线上，连结 AP 交⊙O 于 D，过 D 作⊙O 的切线 CE交 OP 于 C，求证：PC = CD OEDCBA POEDCBA  。