由数乘运算的几何意义向量a与b共线ppt课件.ppt

2.2 平面向量的线性运算 数与向量的乘法=ABCD+ (- )(- )(- )-ABCD+定义定义: :特别地，当特别地，当 =0 =0 或或 a = 0 a = 0 时时, , aa = 0 = 0(2) (2) 方向方向 当当00时时, ,aa的方向与的方向与a a方向相同；方向相同； 当当00时时, ,aa的方向与的方向与a a方向相反；方向相反；(1) (1) 长度长度 | |aa|=|=|a|a| | 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a a的积是一个向量，这种运的积是一个向量，这种运算叫做算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作aa它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：几何意义：将几何意义：将 的长度扩大（或缩小）的长度扩大（或缩小） 倍，改变（倍，改变（不改变）不改变） 的方向，就得到了的方向，就得到了a a|a aa a数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍.当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题. 三、向量三、向量的数乘运算满足如下运算律：的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算解解: (1) : (1) 原式原式 = = (2) (2) 原式原式 = =(3) (3) 原式原式 = = (3-2-1)a+(3+2)b (3-2-1)a+(3+2)b= 5b= 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c= -a+5b-2c= -a+5b-2c -12a -12a 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意的向量对于任意的向量 a,ba,b 以及任意实数以及任意实数 , , ,恒有恒有 (1 1a a2 2b)=b)=1a2b 如图:ABCD的两条对角线交于点M,且 , 试求ADBMC思考思考: :当当a a与与b b同方向时，有同方向时，有b=b=aa; ;当当a a与与b b反方向时，有反方向时，有b=-b=-aa，所以始终有一个实数所以始终有一个实数，使，使b=b=aa1 1、如果、如果 b=b=aa , , 那么，向量那么，向量a a与与b b是否共线？是否共线？2 2、如果非零向量、如果非零向量a a与与b b共线，那么是否有共线，那么是否有，使，使b=b=aa ？ 对于向量对于向量a(a0)a(a0)、b b，如果有一个实数，如果有一个实数，使得，使得b=b=aa , , 那么，由数乘运算的几何意义：向量那么，由数乘运算的几何意义：向量a a与与b b共线共线 若向量若向量a a与与b b共线，共线，a0a0，且向量，且向量b b的长度是的长度是a a的长的长度的度的倍，即有倍，即有|b|=|b|=|a|a|,|,且且 向量向量b b与与非零向量非零向量a a共线共线当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实数一个实数，使得，使得 b=b=aa. .定理定理: :例2小结回顾小结回顾: : 二、知识应用：二、知识应用： 1.1.证明证明 向量共线；向量共线； 2.2.证明证明 三点共线三点共线: AB=BC A,B,C: AB=BC A,B,C三点共线；三点共线； 3.3.证明证明 两直线平行两直线平行: : AB= AB=CDCD ABCD ABCD AB AB、CDCD不重合不重合直线直线ABAB直线直线CDCD一、概念与定理一、概念与定理 a a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 ( a0 )( a0 ) b=b=a a 向量向量a a与与b b共线共线例例3 3： 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点MM是是ABAB中点，点中点，点N N段段BDBD上，且有上，且有BN= BDBN= BD，求证：，求证：MM、N N、C C三点共线。

三点共线提示：设提示：设AB = AB = a a BC = BC = b b则则MN= = MN= = a +a + b b MC= = MC= = a+a+ b b基础知识反馈C.A.B.(2).设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).D.(1).下列四个说法正确的个数有( ).B.2个A.1个C.3个D.4个BC例4:若其中 , 是已知向量,求 ，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记 ， 3得 -得例5如图所示，已知 说明向量 与 的关系解： 因为所以， 与 共线同方向，长度是 的3倍oAB问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?反馈演练：1. 在 中,设D为边的中点,求证:解：因为（）所以，所证等式成立E过点B作BE,使连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:例6: 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 .ECODBA 分析: 解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算 解：因为A是BC的中点，所以 （ C ）分析:由 所以 在平行四边形ABCD中, ,M为BC的中点,则 等于 (1)(2)ABCD 二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明 向量共线向量共线 2. 2. 证明证明 三点共线三点共线: AB=: AB= BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线 3. 3. 证明证明 两直线平行两直线平行: : AB= AB= CD ABCD ABCDCD AB AB与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上直线直线ABAB直线直线CDCD课堂小结：课堂小结：一、一、a a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0)(a0) b=b= a a 向量向量a a与与b b共线共线。