2012年高考数学考前归纳总结：导数中的图像关系问题.doc

导数中的图像关系问题一、常见基此题型： 〔1〕图像交点个数，求参数的取值范围，例1. 是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)假设直线与函数的图像有三个交点，求的取值范围． 解：(1) f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)， . 当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，； 当x∈(1,3)时，. ∴的单调增区间是(－1,1)，(3，＋8)； 的单调减区间是(1,3)， 〔2〕由(1)知在(－1,1)单调增加，在(1,3)单调减小， 在(3，＋∞)上单调增加， 且当x＝1，或x＝3时，f′(x)＝0， ∴f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21. ∵f(16)＞162－10×16＞16ln2－9＝f(1)， f(e－2－1)＜－32＋11＝－21＜f(3)， ∴在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)， 直线y＝b与y＝f(x)的图像各有一个交点，即f(3)＜b＜f(1)． ∴b的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9). 例2.函数 〔1〕当时，求函数的最值； 〔2〕说明是否存在实数使的图象与无公共点. 解：〔1〕函数的定义域是〔1，+〕 当a=1时，， 所以在为减函数，在为增函数， 所以函数的最小值为. 〔2〕时，由〔1〕知在〔1，+〕的最小值为， 令在［1，+〕上单调递减， 所以，那么 因此存在实数使的最小值大于， 故存在实数使y=的图象与y=无公共点. (2)图像的位置关系求参数的取值范围 例3.二次函数，其导函数 的图象如下图，．假设函数, 的图象总在函数的图象的上方，求c的取值范围．解：由题意可知，2x－ln x>x2－3x－c＋ln x在x∈[1,4]上恒成立，即当x∈[1,4]时，c>x2－5x＋2ln x恒成立设g(x)＝x2－5x＋2ln x，x∈[1,4]，那么c>g(x)max.易知＝2x－5＋＝=.令得，x＝或x＝2. 当x∈(1,2)时，，函数单调递减； 当x∈(2,4)时，，函数单调递增． 而g(1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g(4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2， 显然g(1)－4＋4ln 2. ∴c的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．二、针对性练习 1．函数.，求证：在区间上，函数的图象在函数 的图象的下方. 证明：令 那么 ∵当时，∴函数在区间上为减函数∴即在上， ∴在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。

2.函数 〔1〕求的极值； 〔2〕假设函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的 取值范围 解：〔1〕 令当是增函数当是减函数∴（2） 〔i〕当时，， 由〔1〕知上是增函数，在上是减函数 又当时， 所以的图象在上有公共点，等价于 解得 〔 ii〕当时，上是增函数， ∴ 所以原问题等价于 又，∴无解3．设，假设函数在[1,3]上恰有 两个不同零点，求实数a的取值范围． 解、函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于 方程x－2lnx＝a，在[1,3]上恰有两个相异实根．令g(x)＝x－2ln，那么g′(x)＜1－.当x∈[1,2)时，g′(x)＜0；当x∈(2,3]时，g′(x)＞0.∴g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数． 故g(x)min＝g(2)＝2－2ln2.又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln3，∵g(1)＞g(3)，∴只需g(2)＜a≤g(3)．故a的取值范围是(2－ln2,3－2ln3]. 。