学生用书7-转化与化归思想的应用.doc

第七讲转化与化归思想的应用-■考情分析中考分值考查方式转化与化归思想在中考中的应用很难用分数来说明，因为很多题目或多或少都会用到转化与化归思想，大致算来，没年至少有20分的题目是必须用到转化与化归思想的解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的二・知识回顾某些数学问题，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰 当的数学方法进行变换，将问题转化为一个新问题（相对來说较为熟悉的问题），通过新问题的求解, 达到解决原问题的目的这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”转化与化归思想是 中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髄数学解题的实质就是转化问题，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题来实现的，在 初中阶段，常见的转化思想有：多元向一元转化、高次向低次转化、未知向己知转化、复杂问题向 简单问题转化、函数与方程的相互转化等三■重点突破（一）多元向一元转化 丨学习心得Ix + y = 1 ;（A）［典型例题1】解方程组Jy + z = 2 !z + x = 3 ；7 •IK解题思路H解决三元方程一次方程组，其本质就是通过“消元”达到转化的目的 !IX = 1 ；答案「y = 0 !z = 2 ![｛搭配练习）12x + 4y + 3z = 9（A） 解方程组＜3y-2y + 5z = ll5x-6y + 7z = 13（二） 高次向低次转化仪（x + l）（3x + 5y） = 144（B） [典型例题2】解方程组2[jc +4% + 5y = 24K解题思路U从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所常握的知识范围，f（x2 +x）（3 兀+ 5y） = 144但仔细分析可将方程组变形为彳, ，再利用换元法，问题就迎刃而解了。

[（X2 + 兀） + （3 兀+ 5y） = 24鱼 * [“=-4 [x2 =3□案：■严 4.8 U = 0.6K搭配练习1（A）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方 ?Sx4-6x2+5 = 0\这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2=y,那么x4 = y2,于是原方程可变为y2-6y + 5 = 0……①，解这个方程得：力=1, y2=5.当 y=l 时，兀'=1, .I x = ± 1；当 y=5 时，X2 =5, .I x = ±J^所以原方程 有四个根：X] = l, X2= — 1, X3=JM, X4= —V5 o⑴ 在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了转化的数学思想.⑵ 解方程（亍-%）2 -4（x2 -兀）一 12 = 0时，若设y =疋—兀，则原方程可化为 .（三） 未知向已知转化（B ）【典型例题3] “转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生问题转化为熟悉问题，把复杂问题转化为简单问题，把抽象问题转化为具体问题星形截取一个角，如图2,请求岀ZA + ZB + ZC + ZD + ZE + ZF的度数(2) 若将图中的角进一步截去，你能由(1)所得的方法或者规律，猜想出图3中ZA + ZB + ZC + ZD + ZE + ZF + ZG + ZH + ZM + ZN 的度数吗？K解题思路]1、在已知图1结论的基础上,FAM吝3要解决图2的问题，只要把AC、FD延长，将图转化为图1,利用图1中的结论即可解决问题2、在解决图2问题时，可以发现，剪去一个角，就多180度。

利用此问题，解决图3问题答案：(1) 360° (2) 1080°(B)[典型例题4】已知方程x+- = c + -的解是：x严c,x°=l X C C求方程*+丄=X+l C+1K解题思路H观察两个方程的特点，将第二个方程通过变形，转化为第一个方程的形式，即:x + l+丄二c + l +丄，把x + 1、c + 1看成一个整体，然后利用第一个方程的结论得到:x + 1 c + 1x + l = c + l 或者 x + l = —,所以x=c 或者 x=——c + 1 c + 1答案：X = C或X =———C + 1K搭配练习1 :IIX… a.x + b.y = cx x = 3 , 3ax+2Z?.y = 5c. *(B)三个同学对问题“若方程组彳i 17 1的解是4 ,求方程组4 1 17 I的，a2x + b2y = c2 [y = 4 [3a2x + 2b2y = 5c2t 解提出各自的想法甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一： 定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元：替换的方法来解决”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 （四）复杂问题向简单问题转化（C）［典型例题5】我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把 待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题.譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采 用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和 定理以后，进一步研究多边形的内角和问题吋，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三 角形，从而解决问题.问题提出：如何把一个正方形分割成斤（〃上9）个小正方形？为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”.基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增 加了 3个正方形.基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增 加了 5个正方形.图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成斤（〃上9）个 小正方形.（1）把一个正方形分割成9个小正方形.一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4 + 5 = 9 （个）小正方形.另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6 + 3 = 9 （个）小正方形.（2） 把一个正方形分割成10个小正方形.方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割， 就可增加3x2个小正方形，从而分割成4 + 3x2 = 10 （个）小正方形.（3） 请你参照上述分割方法，把图⑥给岀的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）（4）把一个正方形分割成兀（〃上9 ）个小正方形.方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11 个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个 正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成〃 （/? > 9 ） 个小正方形.从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割 法或其组合把正方形分割成川（舁三9）个小正方形.类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n （h^9）个小正三角形.（1） 基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a中画出草图）.（2） 基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b中画出草图）.（3） 分别把图c、图d和图幺中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或图e（4）请你写出把一个正三角形分割成〃 （/? > 9 ）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，： 不用画图）. •ftAK解题思路H （3）按“基本分割2”进行两次即可； ：（4）类比应用： :i① 基本分割法1即利用正三角形的3条中位线把一个正三角形分割成4个小正三角形； :② 基本分割法2即作正三角形的一条中位线，将其分割成一个小正三角形和梯形，再利用梯形：上底的中点和下底的三等分点，将梯形分割成5个正三角形，从而把一个正三角形分割：I成6个小正三角形； :③ 图c分别按基本分割1和基本分割2各进行一次即可； :图d分别按基本分割1进行3次即可； ：图e分别按基本分割2进行2次即可； :④ 类比正方形的分割中的笫（4）小题，即可作出答案： ：I 通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正三角形分割成9个、10个和11个小：正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把:即可把一个正三角形分割成n 529）个小正三角形.答案:一个正三角形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推,把一个正三角形分割成斤（"29 ）个小正三角形的分割方法：通过“基本分割法1”、“基本 分割法2”或英组合，把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形，再在此基础上每 使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13 ■个、14个小正三角形，依次类推，即可把一个正三角形分割成斤（“29 ）个小正三角形.•A【搭配课堂训练题】 ：A1、实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网：情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级」 那么全校最少需抽取多少名学生？ ：a 建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型： :I在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从： 口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？ ：a 为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化： ：A（1） 我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最:少需摸出多少个小球？ :假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们:I 的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸：A 出小球的个数是：1 + 3 = 4 （如图①）； :（2） 若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？ ：I我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸岀3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少:* 需摸出小球的个数是：1+3x2 = 7 （如图②） :I（3） 若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？ ：我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少:S 需摸出小球的个数是：1 + 3x3 = 10 （如图③）： :（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？ :我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是:14-3x（10-1） = 28 （如图⑩）Iz®>-©-0-@红或黄或白图①红或黄或白團②（£>红或黄或备 红或黄或白■ I9个 图⑩模型拓展一：在不透明的口袋中装有红.黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20个（除颜色外• 完全相同），现从袋中随机摸球:（I）。