第1章--有理数--专题分类训练二--绝对值的非负性及其应用.docx

专题分类训练二 绝对值的非负性及其应用(教材 17 页作业题 A 组 3 题)教材题源例题：下面的说法对吗？如果不对，应如何改正？(1)一个数的绝对值一定是正数；(2)一个数的绝对值不可能是负数；(3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数．解：(1)不对，一个数的绝对值是正数或 0；(2)对；(3)对．【方法总结】理解绝对值的定义是解题关键．【知识链接】①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0 的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．任何一个有理数的绝对值一定( D )变式训练1A．大于 0B．小于 0C．不大于 0D．不小于0【解析】 由绝对值的定义可知，任何一个有理数的绝对值一定大于等于 0.题中选项只有 D 项符合题意．故选 D 项．已知 a 为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是变式训练2( C )A．aB．－aC．|－a |D．－|－a |【解析】 根据绝对值的性质，为非负有理数的是|－a |.故选 C.若|x|－|y|＝0，则( D )变式训练 3A．x＝yB．x＝－yC．x＝y＝0D．x＝y 或 x＝－y【解析】 ∵| x |－| y |＝0，∴| x |＝| y |，∴x＝±y，故选 D.对于任意有理数 a，下列各式一定成立的是( C )变式训练4A．a＞| a |B．a＞|－a |C．a≥－| a |D．a＜| a |【解析】 A、当a＜0时，a＜| a |，故本选项错误； B、当a＜0时，a＜|－a |，故本选项错误； C、不论 a 为何有理数，a≥－| a |均成立，故本选项正确；D、当 a≥0 时，a＝| a |，故本选项错误．故选 C.若| a |＋|b|＝0，则 a 与 b 的大小关系是( A )变式训练 5A．a＝b＝0 B．a 与 b 互为相反数C．a 与 b 异号 D．a 与 b 不相等【解析】 ∵|a|＋| b |＝0，| a |≥0，| b |≥0，∴| a |＝0，| b |＝0，∴a＝0，b＝0.故选 A.【方法点拨】 当几个数或式的绝对值相加和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 0.根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．若 x 是有理数，则|x|＋1 一定( C )变式训练6A．等于 1B．大于 1C．不小于 1D．不大于 1【解析】 ∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1.故选 C.如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是变式训练7( B )A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数【解析】 设这个有理数是 a，则根据题意有：|a|＝－a，因此 a≤0，即这个有理数是非正数．故选 B.已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较 x，y 的大小关系，正确的一组变式训练8是( B )A．x＜yB．x＞yC．x＝yD．与 x，y 的取值有关，无法比较【解析】 ∵|2 x－3|＋| y＋2|＝0，∴|2 x－3|＝0，| y＋2|＝0，∴x＝1.5，y＝－2，∴x＞y，故选 B.式子| x－1|＋2 取最小值时，x 等于( B )变式训练9A．0B．1C．2D．3【解析】 ∵| x－1|≥0，∴当| x－1|＝0 时，| x－1|＋2 取最小值，∴x－1＝0，解得 x＝1.故选 B.如果|a|＝4，那么 a＝__±4__；如果|x|＝|－2.5|，则 x＝ 变式训练10__±2.5__；若| a－2|＋|b＋5|＝0，则 a－b＝__7__．【解析】 ∵| a |＝4，∴a＝±4.∵| x |＝|－2.5|，∴x＝±2.5，根据题意得a－2＝0，b＋5＝0，解得 a＝2，b＝－5，∴a－b＝2－(－5)＝2＋5＝7.若|a－1|＝－| b＋1|，则－4a b＝ __4__．变式训练11【解析】 由|a－1|＝－| b＋1|得|a－1|＋| b＋1|＝0，∴a－1＝0，b＋1＝0，解得 a＝1，b＝－1，∴－4a b＝－4×1×(－1)＝4.用字母 a 表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值变式训练12为正数或 0，所以|a|的最小值为 0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值 0，根据这个结论完成下列问题：(1)| a|＋1 有最__小__值__1__；(2)5－|a|有最__大__值__5__；(3)当 a 的值为__1__时，|a－1|＋2 有最__小__值__2__；(4)若|a＋2|＋| b－1|＝0，则 a b＝__－2__．任意有理数 a，式子 1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1 中，值不变式训练13能为 0 的是( D )A．1－|a|B．|a＋1|C．|－a|＋|a|D．|a|＋1【解析】 当 a＝1 或－1 时，|a|＝1，则 1－|a|＝0；当 a＝－1 时，a＋1＝0，则 aa＋1|＝0；当 a＝0 时，|－a|＝|a|＝0，则|－a|＋|a|＝0；对于任意数 a，都有|a|≥0，则|a|＋1≥1，值不能为 0.故选 D.满足|a－b |＋a b＝1 的非负整数(a，b)的个数是( C )变式训练14A．1B．2C．3D．4【解析】 ∵|a－b |≥0，∴－|a－b |≤0，∴1－|a－b |≤1，∴a b≤1，∵a，b 是非负整数，∴存在(1，1)(1，0)(0，1)3 种情况．故选 C.不论 a 取什么值，代数式－|a|－2 的值总是( B )变式训练15A．正数B．负数C．非负数D．不能确定【解析】 ∵|a|≥0，∴－|a|－2≤－2，∴代数式－|a|－2 的值总是负数．故选 B.【方法点拨】任意一个数的绝对值都是非负数．若－|m－n|有最大值，则 m 与 n 的关系是__ m＝n__．变式训练16【解析】 ∵| m－n|≥0，∴－| m－n |≤0，∴当 m－n＝0 时取最大值，∴m＝n.故 m 与 n 的关系是 m＝n.当式子|x－1|＋| x－2|＋| x－3|＋…＋| x－1997|取得最小值时，变式训练17实数 x 的值等于( A )A．999B．998C．1997D．0【解析】 由已知条件可知，| x－a|表示 x 到 a 的距离，只有当 x 到 1 的距离等于 x 到 1997 的距离时，式子取得最小值．∴当 x＝＝999 时，式子取得1＋1 9972最小值．故选 A.【方法总结】观察已知条件可以发现，|x－a|表示 x 到 a 的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的 x 的值，此时式子得出的值则为最小值．已知：|a＋3|＋|b－2|＝0，求 a＋b 的值．变式训练18解：根据题意得，a＋3＝0，b－2＝0，解得 a＝－3，b＝2，∴a＋b＝－3＋2＝－1.【方法点拨】根据绝对值的非负性列式求解即可得到 a，b 的值，然后再代入代数式进行计算即可求解．若|2x－4|与|y－3|互为相反数，求 2 x－y 的值．变式训练19解：根据题意得，|2 x－4|＋|y－3|＝0，∴2 x－4＝0，y－3＝0，解得 x＝2，y＝3，∴2 x－y＝2×2－3＝4－3＝1.【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于 0 列出方程，再根据非负数的性质列式求出 x，y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．若 a，b，c 都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求变式训练20a＋|b|＋c 的值．解：∵|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，∴|a－1|＝0，|b＋2|＝0，|c－4|＝0，∴a＝1，b＝－2，c＝4，∴a＋|b|＋c＝1＋2＋4＝7.已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数．变式训练 21(1)求 a，b 的值；(2)求 a－b，ab 的值．解：(1)∵|2a－6|与|b＋2|互为相反数，∴|2a－6|＋|b＋2|＝0，∴2a－6＝0，且 b＋2＝0，∴a＝3，b＝－2；(2)∵a＝3，b＝－2，∴a－b＝3－(－2)＝5，ab＝3×(－2)＝－6.【方法点拨】考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 0 是解答此题的关键．(1)对于式子|x|＋13，当 x 等于什么值时，有最小值？最小值是变式训练 22多少？(2)对于式子 2－|x|，当 x 等于什么值时，有最大值？最大值是多少？解：(1)式子|x|＋13，当 x 等于 0 时，有最小值，最小值是 13；(2)式子 2－|x|，当 x 等于 0 时，有最大值，最大值是 2.【方法总结】任何有理数的绝对值都是大于或等于 0 的数，这是绝对值的非负性．利用此性质解决问题即可． 。