2010年高考压轴题跟踪演练系列四(全).pdf

备战备战 2010201020102010 高考数学高考数学――――压轴题跟踪演练系列四压轴题跟踪演练系列四1． （本小题满分 14 分）已知 f(x)=222+− xax(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数 a 的值组成的集合 A；（Ⅱ） 设关于 x 的方程 f(x)=x1的两个非零实根为 x1、x2.试问： 是否存在实数m， 使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意 a∈A 及 t∈[－1，1]恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.解： （Ⅰ）f＇(x)=222)2(224 +−+ xxax=222)2()2(2 +−−− xaxx，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0 对x∈[－1，1]恒成立，即 x2－ax－2≤0 对 x∈[－1，1]恒成立.①设ϕ(x)=x2－ax－2，方法一：ϕ(1)=1－a－2≤0，①⇔⇔－1≤a≤1，ϕ(－1)=1+a－2≤0.∵对 x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当 a=1 时，f＇(-1)=0 以及当 a=－1 时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.方法二：2a≥0，2a0∴x1，x2是方程 x2－ax－2=0 的两非零实根，x1+x2=a，∴从而|x1－x2|=212 214)(xxxx−+=82+a.x1x2=－2，∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=82+a≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意 a∈A 及 t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3 对任意 t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0 对任意 t∈[－1，1]恒成立.②设 g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：g(－1)=m2－m－2≥0，②⇔g(1)=m2+m－2≥0，⇔m≥2 或m≤－2.所以， 存在实数m， 使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意 a∈A 及 t∈[－1， 1]恒成立， 其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：当 m=0 时，②显然不成立；当m≠0 时，m>0，m0，y2>0.由 y=21x2，①得 y＇=x.∴过点 P 的切线的斜率 k切= x1，∴直线 l 的斜率 kl=－切k1=-11 x，∴直线 l 的方程为 y－21x12=－11 x(x－x1)，方法一：联立①②消去 y，得x2+12 xx－x12－2=0.∵M 是 PQ 的中点x0=221xx+=-11 x，∴y0=21x12－11 x(x0－x1).消去 x1，得 y0=x02+2 021x+1(x0≠0)，∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+2 021x+1(x≠0).方法二：由 y1=21x12，y2=21x22，x0=221xx+，得 y1－y2=21x12－21x22=21(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，则 x0=2121 xxyy −−=kl=-11 x，∴x1=－01 x，将上式代入②并整理，得y0=x02+2 021x+1(x0≠0)，∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+2 021x+1(x≠0).（Ⅱ）设直线 l:y=kx+b，依题意 k≠0，b≠0，则 T(0，b).分别过 P、Q 作 PP＇⊥x 轴，＇⊥y 轴，垂足分别为 P＇ 、Q＇ ，则=+|||| |||| SQST SPST |||| |||| |||| ||||21yb yb OT PPOT+=′+′.y=21x2由消去 x，得 y2－2(k2+b)y+b2=0.③y=kx+by1+y2=2(k2+b)，则y1y2=b2.方法一：∴=+|||| |||| SQST SPST|b|(2111 yy+)≥2|b|211 yy=2|b|21 b=2.∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴|||| |||| SQST SPST+的取值范围是（2，+∞）.方法二：∴|||| |||| SQST SPST+=|b|2121 yyyy+=|b|22)(2 bbk+.当 b>0 时，|||| |||| SQST SPST+=b22)(2 bbk+=bbk)(22+=bk22+2>2；当 b0，于是 k2+2b>0，即 k2>－2b.所以|||| |||| SQST SPST+>bbb −+−)2(2=2.∵当 b>0 时，bk22可取一切正数，∴|||| |||| SQST SPST+的取值范围是（2，+∞）.方法三：由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP，即22 xby−=11 xby−.则 x1y2－bx1=x2y1－bx2，即 b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).于是 b=122 212 1221 21xxxxxx−⋅−⋅ =－21x1x2.∴|||| |||| SQST SPST+=|||| ||||21yb yb+=1|21|21xx− +1|21|21xx− =||12 xx+||21 xx≥2.∵||12 xx可取一切不等于 1 的正数，∴|||| |||| SQST SPST+的取值范围是（2，+∞）.3． （本小题满分 12 分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3，一旦发生，将造成 400 万元的损失.现有甲、 乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、 乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和30 万元， 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用. . .=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分.解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为 400×0.3=120（万元） ；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为 45 万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为 400×0.1=40（万元） ，所以总费用为 45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为 30 万元，发生突发事件的概率为 1－0.85=0.15，损失期望值为 400×0.15=60（万元） ，所以总费用为 30+60=90（万元） ；④若联合采取甲、 乙两种预防措施， 则预防措施费用为 45+30=75 （万元） ，发生突发事件的概率为（1－0.9） （1－0.85）=0.015，损失期望值为 400×0.015=6（万元） ，所以总费用为 75+6=81（万元）.22综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4． （本小题满分 14 分）已知., 2, 1,1,}{, 011⋯=+==>+naaaaaaannn满足数列（I）已知数列}{na极限存在且大于零，求nnaA ∞→=lim（将 A用 a 表示） ；（II）设;)(:,, 2, 1,1AbAbbnAabnn nnn+−==−=+证明⋯（III）若⋯, 2 , 121||=≤nbnn对都成立，求 a 的取值范围.本小题主要考查数列、 数列极限的概念和数学归纳法， 考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分 14 分.解： （I）由两边取极限得对且存在nnnnnnaaaAaAa1),0(lim,lim1+=>=+∞→∞→.24, 0.24,122++=∴>+±=+=aaAAaaAAaA又解得（II）.11,11AbaAbaaaAbann nnnn++=++=+=++得由都成立对即⋯, 2 , 1)(.)(11111=+−=+−=++−=++−=∴++nAbAbbAbAb AbAAbAabnn nnnnnn（III）.21| )4(21|,21||2 1≤++−≤aaab得令., 2 , 121||,23.23, 14.21| )4(21|22都成立对时现证明当解得⋯=≤≥≥≤−+∴≤−+∴nbaaaaaann（i）当 n=1 时结论成立（已验证）.（ii）假设当那么即时结论成立,21||,)1(kkbkkn≤≥=k kkk kAbAAbAbb21 ||1 | )(| ||||1×+≤+=+故只须证明.232||,21 ||1成立对即证≥≥+≤+aAbAAbAk k.21 21 21||,23. 2||, 1212||||. 2, 14,23, 42 2411222++=×≤≥≥+≥−≥−≥+∴≥∴≤−+≥−+=++=kkkkkkkbaAbAbAAbAaaaaaaaA时故当即时而当由于即 n=k+1 时结论成立.根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[, 2 , 121||+∞=≤的取值范围为都成立的对anbnn⋯5． （本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 10 分）已知aR∈，函数2( )||f xxxa=−.(Ⅰ)当2a=时，求使( )f xx=成立的x的集合；(Ⅱ)求函数( )yf x=在区间[1 2]， 上的最小值.本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分 14 分.解： （Ⅰ）由题意，2( )2f xxx=−.当2x，(1 2)x∈ ， ，则( )f x在区间[1 2]， 上是增函数，所以(1)1mfa== −.②当12a时，在区间[1 2]， 上，23( )f xaxx=−.22( )233 ()3fxaxxxax′=−=−.若3a≥，在区间(1 2)， 内( )0fx′>，从而( )f x为区间[1 2]， 上的增函数，由此得(1)1mfa==− .若23a，从而( )f x为区间2[1]3a，上的增函数；当223ax⎪⎩，当时；0，当时；， 当时；，当时．6． （本小题满分 14 分，第一小问满分 2 分，第二、第三小问满分各 6 分）设数列{}na的前n项和为nS，已知1231611aaa===，，，且1(58)(52)1 2 3nnnSnSAnB n+−−+=+=⋯，，，， ，其中A B， 为常数.(Ⅰ)求A与B的值；(Ⅱ)证明：数列{ }na为等差数列；(Ⅲ)证明：不等式 51mnmnaa a−>对任何正整数m n， 都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力.解： （Ⅰ）由已知，得111Sa== ，2127Saa=+=，312318Saaa=++=.由1(58)(52)nnnSnSAnB+−−+=+，知213237 2122SSAB SSAB−−=+⎧ ⎨−=+⎩， ，即28 248AB AB+= −⎧ ⎨+= −⎩， ，解得20A= −，8B= − .（Ⅱ）方法 1由（Ⅰ） ，得1(58)(52)208nnnSnSn+−−+= −−，①所以21(53)(57)2028nnnSnSn++−−+= −−.②②-①，得21(53)(101)(52)20nnnnSnSnS++−−−++= −，③所以321(52)(109)(57)20nnnnSnSnS++++−+++= −.④④-③，得321(52)(156)(156)(52)0nnnnnSnSnSnS++++−+++−+= .因为11nnnaSS++=−，所以321(52)(104)(52)0nnnnanana++++−+++=.又因为520n+≠，所以32120nnnaaa+++−+=，即3221nnnnaaaa++++−=−，1n≥ .所以数列{}na为等差数列.方法 2由已知，得111Sa== ，又1(58)(52)208nnnSnSn+−−+= −−，且580n−≠，所以数列{}nS是唯一确定的，因而数列{}na是唯一确定的.设54nbn=−，则数列{ }nb为等差数列，前n项和(53) 2nnnT−=.于是1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(5。