2022年2022年建立空间直角坐标系的几个常见思路.pdf

学习好资料欢迎下载建立空间直角坐标系的几种常见思路坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系， 是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例 1已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝2， 底面 ABCD 是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与 DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以 D 为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则C1（０， 1，2） 、B（2，4，０），∴1( 23 2)BC， ，，(01 0)CD， ，．设1BC与CD所成的角为，则113 17cos17BC CDBCCD．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2如图 2，在三棱柱ABC－ A1B1C1中， AB⊥侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1上异于 C、C1的一点，EA⊥EB1．已知2AB，BB1＝ 2，BC＝1，∠ BCC1＝3．求二面角A－EB1－ A1的平面角的正切值．解析：如图2，以 B 为原点，分别以BB1、BA 所在直线为y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面AB1的直线为 x 轴建立空间直角坐标系．由于 BC＝1，BB1＝2，AB＝2，∠ BCC1＝3，∴在三棱柱ABC－A1B1C1中， 有 B （０， ０， ０） 、 A （０， ０，2） 、 B1（０，2， ０） 、31022c，，、13 3022C， ，．设302Ea， ，且1322a，由 EA⊥EB1，得10EA EB，即3322022aa，，，，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载233(2)2044a aaa，∴13022aa，即12a或32a（舍去）．故3 1022E，，．由已知有1EAEB，111B AEB， 故二面角A－EB1－A1的平面角的大小为向量11B A与EA的夹角．因11(0 02)B ABA，，，31222EA，，故11112cos3EA B AEA B A，即2tan2三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3如图 3， 在四棱锥 V－ABCD 中， 底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形， 平面 VAD⊥底面 ABCD．（1）证明 AB⊥平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值．解析： （1）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图3 所示的空间直角坐标系．设 AD＝2，则 A（1，０，０）、D（－ 1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，3） ，∴AB＝（０， 2，０） ，VA＝（1，０，－3） ．由(0 2 0) (103)0AB VA，，，，，得AB⊥VA．又 AB⊥AD，从而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线VA、 AD 都垂直，∴AB⊥平面 VAD；（2）设 E 为 DV 的中点，则13022E，，∴33022EA， ，，33222EB，，，(103)DV，，．∴332(103)022EB DV，，，，，∴EB⊥DV．又 EA⊥DV，因此∠ AEB 是所求二面角的平面角．名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载∴21cos7EA EBEAEBEA EB，．故所求二面角的余弦值为217．四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 4已知正四棱锥V－ABCD 中， E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为2a，高为 h．（1）求∠ DEB 的余弦值；（2）若 BE⊥VC，求∠ DEB 的余弦值．解析： （1）如图 4，以 V 在平面 AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 Ox∥BC，Oy∥AB，则由 AB＝2a，OV＝h，有 B（a， a，０） 、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0，h） 、2 2 2a a hE， ，∴322 2a hBEa，，，32 22ahDEa，，．∴22226cos10BE DEahBE DEahBE DE，，即22226cos10ahDEBah∠；（2）因为 E 是 VC 的中点，又BE⊥ VC，所以0BE VC，即3()022 2a haaah，，， ，，∴22230222aha，∴2ha．这时222261cos103ahBE DEah，，即1cos3DEB∠．引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 5 已知两个正四棱锥P－ABCD 与Q－ABCD 的高都为 2，AB＝4．（1）证明： PQ⊥平面 ABCD ；（2）求异面直线AQ 与 PB 所成的角；（3）求点 P 到平面 QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC⊥ BD．由（ 1） ，PQ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CADBQP，，为x ，y ， z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 （ 如 图1 ），易 得( 22 02)(0 222)AQPB，，，，，，1cos3AQ PBAQ PBAQ PB，．所求异面直线所成的角是1arccos3．（3）由（ 2）知，点(022 0)( 2 22 2 0)(0 04)DADPQ，，，，，，， ，．设 n=（x， y， z）是平面QAD的一个法向量，则00AQAD，，nn得200xzxy，，取x＝ 1，得(112)， ，n =．点 P 到平面 QAD 的距离2 2PQdnn．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - 。